[科普中國]-均方值

均方值(mean-square value)又稱X(t)的二階原點(diǎn)矩，是隨機(jī)變量X(t)的平方的均值，記為E[X2(t)] ，在工程上表示信號(hào)的平均功率，其平方根稱有效值。

基本介紹數(shù)學(xué)期望以實(shí)驗(yàn)中觀查實(shí)驗(yàn)結(jié)果值的算術(shù)平均為例，解釋數(shù)學(xué)期望的物理含義：

設(shè)共作了N次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果值為x，x可能有m種值，即，在N次實(shí)驗(yàn)中各x值得到的次數(shù)分別為，則有次，故可求出x的算術(shù)平均值為：

根據(jù)大數(shù)定理，當(dāng)時(shí)，趨于穩(wěn)定，即趨向某一概率值，故上述可寫成：

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/Nq9dkeLMqjHke3vmNO3kWuj1c4XkehAquC59.jpg" alt="" />不可能達(dá)到的，因此P(x)的確切值是得不到的，E(x)只是一種期望值(ExpectedValue)，故稱為數(shù)學(xué)期望。實(shí)際上它可看成x的均值。(值出現(xiàn)的概率)1。

均方值和方差在概率統(tǒng)計(jì)中，對(duì)于離散型隨機(jī)變量其均方值和方差如下（表示的均值）：

均方值

方 差：

偏 差：

所以方差也稱為偏差的均方值。

對(duì)于隨時(shí)間連續(xù)變化的一個(gè)變量x(也可看時(shí))，其數(shù)學(xué)期望可寫成：

它實(shí)際上就是的平均值。

均方值：

方差為：

其中稱為偏差，為t時(shí)刻x變量的取值，為的平均值1。

隨機(jī)信號(hào)的特性隨機(jī)過程的各個(gè)樣本記錄都不一樣，因此不能象確定性信號(hào)那樣用明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來表達(dá)。但是，這些樣本記錄卻有共同的統(tǒng)計(jì)特性，因此，隨機(jī)信號(hào)可以用概率統(tǒng)計(jì)特性來描述。常用的有以下幾個(gè)主要的統(tǒng)計(jì)函數(shù)：

(1) 均方值、均值和方差；

(2) 概率密度函數(shù)；

(3) 自相關(guān)函數(shù)；

(4) 功率譜密度函數(shù)；

(5) 聯(lián)合統(tǒng)計(jì)特性。

均方值、均值和方差

隨機(jī)信號(hào)的強(qiáng)度，可以用其均方值來描述。對(duì)于平穩(wěn)的遍歷性隨機(jī)過程，隨機(jī)信號(hào)的均方值用樣本函數(shù)平方值的時(shí)間平均來表示，即

稱為均方值，均方值的正平方根稱為均方根值，表示為。

工程上常把數(shù)據(jù)信號(hào)看成是不隨時(shí)間而變化的靜態(tài)分量(即直流分量) 和隨時(shí)間而變化的動(dòng)態(tài)分量二部分之和。靜態(tài)分量可用均值來表示，均值用公式表示

隨機(jī)信號(hào)的動(dòng)態(tài)分量部分可以用方差來表述。方差是偏離均值的平方的均值，它反映了過程離開均值的波動(dòng)情況。用公式表示

方差的正平方根為標(biāo)準(zhǔn)偏差，這在誤差分析中是十分重要的參數(shù)。展開上式可知方差等于均方值減去均值的平方，即

當(dāng)均值等于0時(shí)，則。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)