[科普中國(guó)]-p級(jí)數(shù)

p級(jí)數(shù)，又稱超調(diào)和級(jí)數(shù)，是指數(shù)學(xué)中一種特殊的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。當(dāng)p=1時(shí)，p級(jí)數(shù)退化為調(diào)和級(jí)數(shù)。p級(jí)數(shù)是重要的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，它能用來判斷其它正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性。

定義定義. 對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，稱下列級(jí)數(shù)1

為級(jí)數(shù)。顯然，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，記為級(jí)數(shù)收斂值。易知是上的光滑函數(shù)1。

特殊值1）對(duì)任意的正偶數(shù)，有

其中，是第個(gè)伯努利數(shù)。對(duì)任意的正奇數(shù)，目前還沒有這樣的簡(jiǎn)單表達(dá)式。

2）

也稱為調(diào)和級(jí)數(shù)，應(yīng)此，由上式可知調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。

3）

4）

5）

6）

歐拉乘積公式函數(shù)與素?cái)?shù)之間有一重要的關(guān)系，即歐拉乘積公式，最早由數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)2。即為

其中，表達(dá)式右邊為

歐拉乘積公式表明函數(shù)和素?cái)?shù)之間有千絲萬縷的聯(lián)系。

由歐拉乘積公式，我們有

當(dāng)時(shí)，歐拉乘積公式左邊為調(diào)和級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，歐拉乘積公式右邊為，這表明素?cái)?shù)是無窮多個(gè)。除此之外，上述公式還有很多其它用處。如歐拉乘積公式可用于計(jì)算隨機(jī)選取的整數(shù)互質(zhì)的漸近概率。

黎曼函數(shù)定義. 在復(fù)平面上，對(duì)任意，定義黎曼函數(shù)為

或者由下述積分給出

其中

黎曼函數(shù)和黎曼猜想有關(guān)。而目前黎曼猜想是數(shù)學(xué)上還未解決的一個(gè)重要的猜想，其猜想是非平凡的零點(diǎn)的分布都位于復(fù)平面上 Re(s)=1/2 的直線上。進(jìn)一步的了解參見黎曼猜想。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)