[科普中國(guó)]-直線系

直線系(system of straight lines)亦稱直線束，是具有某一共同性質(zhì)的直線的集合。如在平面仿射坐標(biāo)系中，與已知直線Ax+By+C=0平行的所有直線組成一個(gè)直線系，它的方程為Ax+By+λ=0，式中λ是參數(shù)。又如，通過一個(gè)定點(diǎn)(x0，y0)的所有直線也是一個(gè)直線系，稱為以(x0，y0)為束心的直線束，它的方程為λ1(x-x0)+λ2(y-y0)=0，式中λ1，λ2是不同時(shí)為零的參數(shù)。如果只用一個(gè)參數(shù)來表示，直線束的方程為y-y0=k(x-x0)，式中k為參數(shù)，但此直線束不包含直線x=x0。一般地，對(duì)于給定的兩直l1： A1x+B1y+C1=0，l2： A2x+B2y+C2=0，含有參數(shù)λ1，λ2(不同時(shí)為零)的方程λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0表示由l1和l2決定的直線束，并且：1.當(dāng)l1與l2相交時(shí)，是以l1與l2的交點(diǎn)為中心的直線束，稱為中心直線束；2.當(dāng)l1與l2平行(但不重合)時(shí)，該直線束稱為平行直線束，且當(dāng)參數(shù)λ1，λ2取值為同號(hào)或異號(hào)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的直線位于直線l1與l2之間或之外1。

定義直線系是指具有某種共同特征的直線的集合，表示這個(gè)直線系的方程叫做直線系方程，其特點(diǎn)是在直線方程中含有一個(gè)參數(shù)。

確定平面上一條直線，需要兩個(gè)獨(dú)立且相容的幾何條件，如果只給定一個(gè)條件，直線的位置不能完全確定。另一方面，如果只給定一個(gè)幾何條件時(shí)，二元一次方程的兩個(gè)獨(dú)立的系數(shù)中，只有一個(gè)被確定，那個(gè)未被確定的系數(shù)是參數(shù)。

利用直線系方程求直線，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程，欲求適合某兩個(gè)幾何條件的直線的方程，可先用其中一個(gè)條件寫出直線系方程，再用另一個(gè)條件來確定參數(shù)值2。

常見的直線系方程常見的直線系方程有以下幾種：

（1）有共同斜率的直線系方程。如斜率為2的直線系方程為 (b為參數(shù))。

（2）在 軸上共截距的直線系方程。如截距為3的直線系方程為 (k為參數(shù))。

（3）與直線 平行的直線系方程為 ( 為參數(shù))。

（4）與直線 垂直的直線系方程為 ( 為參數(shù))。

（5）過已知點(diǎn) 的直線系方程為 (k為參數(shù))，不含直線 。

（6）過兩直線 及 交點(diǎn)的直線系方程為 ( 是不全為零的實(shí)數(shù))。

（7）在兩軸上截距之和為定值p的直線系： （ 為參數(shù)）。

應(yīng)用例1 給出兩圓 和一點(diǎn) ，求通過兩圓交點(diǎn)和這點(diǎn)的圓。

解： 不用解聯(lián)立方程求出兩圓交點(diǎn)，再求通過三點(diǎn)的圓，這樣做工作量相當(dāng)大。

凡是通過兩已知圓交點(diǎn)的圓的方程必呈下形式

要求此圓通過點(diǎn) 得

所以 代入上式得所求圓

例2 求三角形外接圓的方程，已知三角形三邊的方程為

解： 按通常的解法，先解三個(gè)二元一次方程組，以得出三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；再按三個(gè)條件列出一個(gè)三元一次方程組并解出所求圓的系數(shù)來，才得出所求圓的方程。

有了直線系和曲線系的啟示，這里設(shè)計(jì)一個(gè)新解法：

對(duì)于一切實(shí)數(shù)a和b，二次曲線

必通過三邊兩兩交點(diǎn)。這是因?yàn)椋涸O(shè) 是一個(gè)頂點(diǎn)，以 代替 ，它使這里出現(xiàn)的三個(gè)不同的括號(hào)中的兩個(gè)為零，因而上式左端三項(xiàng)都為零，可見曲線(1)通過，即通過任一頂點(diǎn)。

進(jìn)一步要使二次曲線(1)代表圓，二次曲線是圓的充要條件是兩條：

(1)的系數(shù)= 的系數(shù)；

(2)的系數(shù)=03。

于是得

所以

代入式(1)，乘出得所求外接圓的方程為

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)