[科普中國]-解析函數(shù)論

解析函數(shù)論(analytic function theory)是復(fù)變函數(shù)論的主要研究對象，如果說以測度為基礎(chǔ)的實變函數(shù)論是研究那些性質(zhì)不大“好”的函數(shù)的話，那么，解析函數(shù)論則是研究那些性質(zhì)非?！昂谩钡暮瘮?shù)。解析函數(shù)論的理論基礎(chǔ)是19世紀(jì)奠定的，柯西(A.-L.Cauchy)、外爾斯特拉斯(K.(T.W.Weierstrass))和黎曼((G.F.)B.Riemann)是這一時期的三位杰出人物，前兩位分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼則研究了復(fù)變函數(shù)的映射性質(zhì)。到20世紀(jì)，解析函數(shù)論已成為數(shù)學(xué)的重要分支之一，它的領(lǐng)域不斷擴大，逐步發(fā)展成了一門龐大的學(xué)科，除了解析函數(shù)論的基本理論之外，還有黎曼面、共形映射、擬共形映射、泰希米勒空間理論、整函數(shù)與亞純函數(shù)論、特殊函數(shù)論、調(diào)和函數(shù)論、單葉函數(shù)、Hp空間理論、代數(shù)函數(shù)、多復(fù)變函數(shù)等.另外，這門學(xué)科對其他學(xué)科如空氣動力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、理論物理等，以及數(shù)學(xué)中其他分支如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等，都有重要的應(yīng)用。

主要內(nèi)容解析函數(shù)論的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)（復(fù)數(shù)表示法及其代數(shù)運算、序列極限及無窮大、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性、復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分、復(fù)函數(shù)的積分、復(fù)變函數(shù)項級數(shù)等）、復(fù)變初等函數(shù)（有理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與雙曲函數(shù)、根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)等）、解析函數(shù)的基本特征、解析函數(shù)的重要性質(zhì)、留數(shù)理論及其應(yīng)用、解析開拓、單葉解析映照、復(fù)變函數(shù)方法在邊值問題中的應(yīng)用。

復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(function of a complex variable)是實變函數(shù)的推廣，自變量和因變量均為復(fù)值的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)。設(shè)E為一復(fù)數(shù)集，若按照某一規(guī)律，E內(nèi)每一復(fù)數(shù)z都有一確定的復(fù)數(shù)w與之對應(yīng)，則稱在E上確定了一單值復(fù)變函數(shù)w=f(z)(z∈E)，若對于自變量z的一個值，可能有幾個或無窮多個w的值與之對應(yīng)，則稱在E上確定了一個多值復(fù)變函數(shù)w=f(z)(z∈E)，E稱為該函數(shù)的定義域；函數(shù)值w的全體所成的集M稱為函數(shù)w=f(z)的值域1。

解析函數(shù)解析函數(shù)(analytic function)亦稱全純函數(shù)或正則函數(shù)，是解析函數(shù)論的主要研究對象，對于定義于復(fù)平面上區(qū)域D內(nèi)的復(fù)變量z的單值函數(shù)f(z)，如果它在D內(nèi)的每個點z0的一個鄰域內(nèi)都可以用z-z0的冪級數(shù)表示，則稱f(z)在D內(nèi)解析，外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))從冪級數(shù)出發(fā)，建立了解析函數(shù)的級數(shù)理論。如果在D內(nèi)的每個點z處，極限

(稱為函數(shù)f(z)在z點的導(dǎo)數(shù))都存在，柯西(Cauchy，A.-L.)稱f(z)在D內(nèi)是解析的，這兩個定義是等價的，函數(shù)在D內(nèi)解析的另一個等價條件是：在D內(nèi)的每一個點處存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足柯西-黎曼方程(或稱柯西-黎曼條件)：

這個條件有時簡稱C-R條件或稱達朗貝爾-歐拉條件。函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的第四個等價條件是莫雷拉定理(參見“莫雷拉定理”)1。

奠基人——魏爾斯特拉斯卡爾·魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)，德國杰出數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)分析算術(shù)化的完成者，解析函數(shù)論的奠基人，在解析函數(shù)、橢圓函數(shù)、代數(shù)領(lǐng)域、變分學(xué)、微分幾何、數(shù)學(xué)分析等方面，他都取得了卓越成就2。

魏爾斯特拉斯1815年出生在德國西部的一個小村莊，他的父親威廉·魏爾斯特拉斯是受法國雇傭的海關(guān)職員，威廉在家里十分嚴(yán)厲而且專斷。14歲時，卡爾進入一所天主教預(yù)科學(xué)校，在那里學(xué)習(xí)德語、拉丁語、希臘語和數(shù)學(xué)，從預(yù)科學(xué)校剛畢業(yè)，不容卡爾有半句分辯，父親就把他送到波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和商業(yè)，希望他將來在普魯士民政部當(dāng)一名文官，卡爾對法律和商業(yè)毫無興趣，在波恩大學(xué)，他把相當(dāng)一部分時間用在數(shù)學(xué)上，他和阿貝爾一樣，“直接向大師們而不是向他們的學(xué)生學(xué)習(xí)”，他常常獨自鉆研拉普拉斯的《天體力學(xué)》、雅可比的《橢圓函數(shù)新理論基礎(chǔ)》等著作。

大學(xué)四年，卡爾沒有得到他父親所希望的法律博士學(xué)位，連碩士學(xué)位也沒有得到。1839年，卡爾被送到蒙斯特學(xué)院學(xué)習(xí)，在那里，卡爾遇到一位不可多得的良師——古德曼，古德曼指導(dǎo)他完成了把橢圓函數(shù)表示成冪級數(shù)的商的結(jié)果，這是橢圓函數(shù)理論的一個重要發(fā)現(xiàn)。

1841年，卡爾取得了教師正式證書．26歲的他從此開始了長達15年的中學(xué)教書生涯，其中包括30歲到40歲這一段通常被認(rèn)為是科學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的黃金歲月。1842年，卡爾到普魯士一所大學(xué)預(yù)科學(xué)校預(yù)備班任數(shù)學(xué)和物理的助理教師，不久晉升為正式教師，除了數(shù)學(xué)和物理，他還教德文、地理、書法和體操。白天，他忙著上課、批改作業(yè)，一到晚上，他就關(guān)上房門，點起蠟燭，通宵達旦地在數(shù)學(xué)之宮神游，攻讀研究阿貝爾等人的數(shù)學(xué)著作，并寫了許多論文。1853年，卡爾將一篇關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文寄給了德國數(shù)學(xué)家克列爾主辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》，隨即引起了轟動，他也因此獲得博士學(xué)位。1856年，卡爾被任命為柏林工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教授，同年被選為柏林科學(xué)院院士，后來他又轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)任教授，晚年享有很高的聲譽，幾乎被看成是德意志的民族英雄。

魏爾斯特拉斯還是一位無與倫比的數(shù)學(xué)教師，他刻苦鉆研、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，在當(dāng)中學(xué)教師的15年中，盡管教學(xué)任務(wù)繁重，工作條件很差，魏爾斯特拉斯仍堅忍不拔、孜孜不倦地鉆研數(shù)學(xué)，經(jīng)常達到廢寢忘食的程度。1850年起，他患了眩暈癥，常持續(xù)一小時以上，直到一陣摧人心肺的嘔吐后才見消退．這種腦痙攣癥折磨了他十余年，但他頑強地堅持教學(xué)和研究。實際上，在當(dāng)中學(xué)教師的年代，他是以犧牲健康為代價從事數(shù)學(xué)研究的，他在柏林大學(xué)仍承擔(dān)巨大的教學(xué)工作負(fù)荷。1860年3月，在一次講課中他突然暈了過去，1861年底他完全病倒，在近兩年中一直未能回到科能，他就堅持上課，常常只能坐著講授，讓優(yōu)秀學(xué)生書寫黑板，他善于用一種不可言傳只能意會的精神激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)造欲。他講課時不夸大其辭、嘩眾取寵；他關(guān)心學(xué)生，循循善誘，慷慨地指導(dǎo)學(xué)生論文課題，在討論班上不斷提出富有成果的想法，使之成為學(xué)生研究的主題，甚至把自己尚未發(fā)表也未留紀(jì)要的手稿借給學(xué)生。

魏爾斯特拉斯富有詩才，他曾說過，如果一個數(shù)學(xué)家不是某種程度上的詩人，他就永遠不會成為一個完整的數(shù)學(xué)家，但有點奇怪的是，不像很多數(shù)學(xué)家喜歡音樂一樣，他討厭音樂，他是天主教徒，但在宗教觀點上不走極端。

魏爾斯特拉斯品德高尚，他熱愛數(shù)學(xué)，熱愛教育事業(yè)，熱情指導(dǎo)學(xué)生，終身孜孜不倦，他不計個人名利，允許學(xué)生們或別人把他的研究成果用種種方式傳播，而不計較功績屬誰的問題，這種高貴品德也是十分可貴的。

1897年初，魏爾斯特拉斯染上流行性感冒，后轉(zhuǎn)為肺炎，終至不治，于2月19日溘然長逝，享年82歲，數(shù)學(xué)家龍格曾高度贊揚魏爾斯特拉斯“自下而上地構(gòu)筑了完美的數(shù)學(xué)大廈。”這是對魏爾斯特拉斯的一個很好概括2。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學(xué)