[科普中國]-積分幾何

積分幾何數(shù)學(xué)中通過各種積分研究圖形性質(zhì)的一門學(xué)科，本質(zhì)上屬于整體微分幾何范疇。它起源于幾何概率的研究，其發(fā)展也始終與幾何概率相聯(lián)系。積分幾何的研究從二維歐幾里得平面、三維歐幾里得空間開始，逐步拓廣到高維歐幾里得空間和非歐幾里得空間，然后概括為滿足一定條件的齊性空間。

簡介積分幾何學(xué)是通過積分研究圖形性質(zhì)的一門學(xué)科。本質(zhì)上屬于整體微分幾何的范疇。它起源于幾何概率的研究，其發(fā)展也始終與幾何概率相聯(lián)系。積分幾何的研究從二維歐幾里得平面、三維歐幾里得空間開始，逐步拓廣到高維歐幾里得空間和非歐幾里得空間，然后概括為滿足一定條件的齊性空間。積分幾何的基本概念就是對(duì)于某種幾何元素集定義一種在某種變換群作用下不變的密度和測度。該不變密度的不同表達(dá)式往往是導(dǎo)出重要結(jié)論的基礎(chǔ)。

基本信息以二維歐幾里得平面為例，設(shè)(x,y) 是平面上點(diǎn)P 的直角坐標(biāo)，則在運(yùn)動(dòng)群作用下不變的點(diǎn)密度是。設(shè)表示上的直線，它的方程是，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，是從原點(diǎn) O 到直線的垂線與橫坐標(biāo)軸所成的有向角則直線的密度是。若它與平面上長度為 L 的曲線 C 的交點(diǎn)數(shù)為則有著名的克羅夫頓公式(Crofton formula)

在 E2上，設(shè)圖形 F 在作剛體運(yùn)動(dòng)，在 F 上固聯(lián)一個(gè)正交標(biāo)架R。假設(shè)對(duì)于平面上一個(gè)固定的正交標(biāo)架R0而言，R的原點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),且R 的第一條軸與R0的第一條軸間的夾角為 θ,則定義F 的不變運(yùn)動(dòng)密度為設(shè)E2上有長度為Li 的曲線Ci= 1,2。讓曲線C1固定，曲線C2作剛體運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)密度記為dC2,并設(shè) C2在任意位置與 C1的交點(diǎn)數(shù)均有限，記為 n，則得龐加萊公式(Poincareformula)

再設(shè)Ci是分段光滑的簡單閉曲線，其全曲率為ci(即Ci的各段光滑曲線的相對(duì)曲率關(guān)于弧長參數(shù)的積分之和，再加上各角點(diǎn)處的外角)，所圍的區(qū)域記為Di其面積為Si，用表示相交區(qū)域的邊界的全曲率。讓曲線C1固定，曲線 C2作剛體運(yùn)動(dòng)，把c12對(duì)所有可能的 C2的位置進(jìn)行積分，則有布拉施克運(yùn)動(dòng)公式(Blaschke's kinematic formula)

設(shè)χ 為交集的連通分支數(shù)，則上面的公式成為

所有上面的結(jié)果都可以推廣到高維空間。1

發(fā)展簡史幾何概率的研究要以有關(guān)的圖形集合的測度為基礎(chǔ)，因而自然要導(dǎo)致積分幾何的建立。一般認(rèn)為,最早的幾何概率問題是 G.-L.L.de布豐提出并解決的投針問題：設(shè)在平面上有一組平行線,其行距都等于D；把一根長度l