[科普中國]-變分原理

變分原理是自然界靜止（相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)）事物中的一個(gè)普遍適應(yīng)的數(shù)學(xué)定律，也稱最小作用定理。也是物理學(xué)的一條基本原理，以變分法來表達(dá)1。

背景把一個(gè)力學(xué)問題（或其他學(xué)科的問題）用變分法化為求泛函極值（或駐值）的問題，就稱為該物理問題 （或其他學(xué)科的問題）的變分原理。如果建立了一個(gè)新的變分原理，它解除了原有的某問題變分原理的某些約束條件，就稱為該問題的廣義變分原理；如果解除了所有的約束條件，就稱為無條件廣義變分原理，或稱為完全的廣義變分原理。1964年，錢偉長教授明確提出了引進(jìn)拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有約束條件的變分原理化為較少（或沒有）約束條件的變分原理的方法。日本的鷲津一郎教授、中國科學(xué)院院士錢偉長教授和劉高聯(lián)教授等都是這方面的世界級(jí)大師。變分原理在物理學(xué)中尤其是在力學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如著名的虛功原理、最小位能原理、余能原理和哈密頓原理等。在當(dāng)代變分原理已成為有限元法的理論基礎(chǔ)，而廣義變分原理已成為混合和雜交有限元的理論基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用中，通常很少能求出精確的解析解，因此大多采用近似計(jì)算方法。近似計(jì)算方法主要有：李茲法、伽遼金法、康托洛維奇法、屈列弗茲法等。

變分定義根據(jù)科內(nèi)利烏斯·蘭佐斯的說法，任何可以用變分原理來表達(dá)的物理定律描述一種自伴的表示。這種表示也被說成是厄米的，描述了在厄米變換下的不變量菲利克斯·克萊因的愛爾蘭根綱領(lǐng)試圖鑒識(shí)這類在一組變換下的不變量。在物理學(xué)的諾特定理中，一組變換的龐加萊群（現(xiàn)在廣義相對(duì)論中被稱為規(guī)范群）定義了在一組依賴于變分原理的變換下的對(duì)稱性，即作用原理2。

變分法是討論泛函極值的工具，所謂泛函，是指函數(shù)的定義域是一個(gè)無限維的空間，即曲線空間。在歐氏平面中，曲線的長的函數(shù)是泛函的一個(gè)重要的例子。一般來說，泛函就是曲面空間到實(shí)數(shù)集的任意一個(gè)映射。

函數(shù)的微分定義式為f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+o(x);那么泛函的微分有類似的定義：Φ(γ+h)-Φ(γ)=F+R,此處F為h的函數(shù)，R=o(h^2).注意，這里和微分不同的是h不一定是無窮小量。設(shè)有一個(gè)體系，其中能量的有關(guān)條件已知，換句話說，已經(jīng)知道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛定諤方程來找出波函數(shù)，可以任意猜測(cè)一個(gè)歸一化的波函數(shù)，比如說φ，結(jié)果是根據(jù)猜測(cè)的波函數(shù)得到的哈密頓算符的期望值將會(huì)高于實(shí)際的基態(tài)能量。變分原理是變分法的基本原理，用于量子力學(xué)和量子化學(xué)來近似求解體系基態(tài)。

示例最速降線命題

1695年，Bernoulli以公開信方式提出了最速降線命題。如圖2-1所示，設(shè)有不在同一垂線上的A、B兩點(diǎn)，在此兩點(diǎn)間連一曲線，有一重物沿此曲線下滑，忽略各種阻力的理想情況，什么曲線能使重物沿曲線AB光滑下滑的時(shí)間最短。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)