[科普中國]-垂極點(diǎn)

由一個(gè)三角形的各個(gè)頂點(diǎn)向任一條直線作垂線，則由其垂足向?qū)吽鞔咕€必交于一點(diǎn)，稱為這條直線的垂極點(diǎn)。當(dāng)直線平行移動時(shí)，垂極點(diǎn)的軌跡是與它垂直的直線。與外接圓相交的直線，垂極點(diǎn)是交點(diǎn)的西摩松線的交點(diǎn)。換句話說。一點(diǎn)的西摩松線是過這點(diǎn)的各條直線的垂極點(diǎn)的軌跡。如果一條直線通過外心，那么它的垂極點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

基本介紹垂極點(diǎn)曾被紐堡(Neuberg)，松恩(Soons)，蓋拉特雷(Gallatly)等人廣泛研究，最后由蓋拉特雷集其大成。

定理 設(shè)由一個(gè)三角形的各個(gè)頂點(diǎn)向任一條直線作垂線，則由其垂足向?qū)吽鞔咕€必交于一點(diǎn)，稱為這條直線的垂極點(diǎn)。當(dāng)直線平行移動時(shí)，垂極點(diǎn)的軌跡是與它垂直的直線。與外接圓相交的直線，垂極點(diǎn)是交點(diǎn)的西摩松線的交點(diǎn)。換句話說。一點(diǎn)的西摩松線是過這點(diǎn)的各條直線的垂極點(diǎn)的軌跡。如果一條直線通過外心，那么它的垂極點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

設(shè)一條直線交外接圓于P，Q，由三角形的頂點(diǎn)作這條線的垂線，每條垂線與外接圓還有一個(gè)交點(diǎn)，從這些交點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，則這些垂線相交于外接圓上一點(diǎn)R。由PQ上的三個(gè)垂足向?qū)呑鞔咕€，這些垂線相交于垂極點(diǎn)S。而P，Q，R的西摩松線也都通過S，S是直線PQ，PR，QR中任一個(gè)的垂極點(diǎn)。

一條直線的垂極點(diǎn)，關(guān)于這條線上所有點(diǎn)的垂足圓，有相同的冪1。

相關(guān)研究及結(jié)論?設(shè) 為 到一條方向角為 的直線 的垂線 的長。作 垂直于 垂直于 垂直于 。這三條直線必定共點(diǎn)。

因?yàn)?/p>

且

所以

因此 共點(diǎn)。

這公共點(diǎn)記為S，紐堡(J.Neuberg)教授將它稱為 的垂極點(diǎn)2。

原注：垂極點(diǎn)的定理幾乎全屬于J.Neuberg教授。

設(shè) 為 到TT' 的垂線 的長。

取一特殊情況，以 表示TT' 與 的邊所成的銳角。我們有

又因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/EBGtAXTQvPNKnL2XygqdUVR6R9Co32uvOYJJ.jpg" alt="" /> 垂直于

同樣因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/g0ZOmyH4EYnZyrJUIugjmgaeFlM3d2Q7LsZs.jpg" alt="" /> 垂直于

所以

當(dāng)TT' 平行移動時(shí)，圖形 的形狀與大小均保持不變。

? 用幾何方法確定垂極點(diǎn)。

設(shè) 再交圓 于R，作弦 垂直于 。

設(shè) 交TT' 于 ，則

( 即 )

同樣

所以

因此作 平行于 ，便得到S。

當(dāng)TT' 平行移動時(shí)，S沿TT' 的垂線 移動。

平行于AR，是R''的西摩松線。

?確定S對于ABC的n.c.。

因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/EwUMrG1ylZrrKLmh2meLoGTNHBlEjit1tKKX.jpg" alt="" /> 在 上的射影=

所以

將上式右邊第一項(xiàng)乘以 ，其他項(xiàng)乘以 ，得

又

所以

將上式右邊的兩個(gè)因式相乘，并利用

得

TT' 的方程為 ，在它通過圓心 時(shí)，有 ，此時(shí)

?設(shè) 為與TT' 平行的直徑，則 的垂極點(diǎn) 在九點(diǎn)圓上。

**證明：**令H為ABC的垂心，因?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/n47APjex7d1LhEl765fKBbmAbMARZu7bcVCu.jpg" alt="" /> ，所以 。

又

所以

但

所以

因此是的中點(diǎn)，從而在九點(diǎn)圓上。

?圓ABC的任一弦TT'的端點(diǎn)的西摩松線，過TT'的垂極點(diǎn)。

?萊莫恩定理：

若是直線TT'上一點(diǎn)，TT'的垂極點(diǎn)為S，則S關(guān)于P的垂足圓的冪為常數(shù)。

作平行于，圓位似，作平行于垂直于。

?在TT'為外接圓直徑時(shí)，d為0，這時(shí)垂足三角形都過的垂極點(diǎn)。

因?yàn)樵谶@時(shí)，。位似圖形的比是1：2，所以變?yōu)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/tNhbBrrqzUjOwNRAcgWCSwt8OCShgN9UbyzT.jpg" alt="" />。

因此與在上相交2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)