[科普中國]-留數(shù)定理

定律定義

假設(shè)U是復(fù)平面上的一個(gè)單連通開子集， ，是復(fù)平面上有限個(gè)點(diǎn)， 是定義在U\{ }的全純函數(shù)。如果γ是一條把 包圍起來的可求長曲線，但不經(jīng)過任何一個(gè) ，并且其起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，那么：

如果γ是若爾當(dāng)曲線，那么I(γ,ak)=1, 因此：

在這里，Res(f, ak)表示f在點(diǎn)ak的留數(shù)，I(γ, ak)表示γ關(guān)于點(diǎn)ak的卷繞數(shù)2。卷繞數(shù)是一個(gè)整數(shù)，它描述了曲線γ繞過點(diǎn)ak的次數(shù)。如果γ依逆時(shí)針方向繞著ak移動(dòng)，卷繞數(shù)就是一個(gè)正數(shù)，如果γ根本不繞過ak，卷繞數(shù)就是零。

推導(dǎo)過程以下的積分

在計(jì)算柯西分布的特征函數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)，用初等的微積分是不可能把它計(jì)算出來的。我們把這個(gè)積分表示成一個(gè)路徑積分的極限，積分路徑為沿著實(shí)直線從?a到a，然后再依逆時(shí)針方向沿著以0為中心的半圓從a到?a。取a為大于1，使得虛數(shù)單位i包圍在曲線里面。路徑積分為：

由于eitz是一個(gè)整函數(shù)（沒有任何奇點(diǎn)），這個(gè)函數(shù)僅當(dāng)分母z2 + 1為零時(shí)才具有奇點(diǎn)。由于z2 + 1 = (z + i)(z ? i)，因此這個(gè)函數(shù)在z = i或z = ?i時(shí)具有奇點(diǎn)。這兩個(gè)點(diǎn)只有一個(gè)在路徑所包圍的區(qū)域中。

由于f(z)是

f(z)在z = i的留數(shù)是：

根據(jù)留數(shù)定理，我們有：

路徑C可以分為一個(gè)“直”的部分和一個(gè)曲線弧，使得：

因此

如果t> 0，那么當(dāng)半圓的半徑趨于無窮大時(shí)，沿半圓路徑的積分趨于零：

因此，如果t> 0，那么：

類似地，如果曲線是繞過?i而不是i，那么可以證明如果t

因此我們有：

（如果t= 0，這個(gè)積分就可以很快用初等方法算出來，它的值為π。）

相關(guān)術(shù)語路徑積分

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