[科普中國]-弧度制

發(fā)展歷程

在研究弧度制發(fā)展時，我們必須談到三角學和角，因為弧度制是依托它們二者存在的。依據(jù)三角學在數(shù)學研究中的地位，筆者認為三角學的發(fā)展可以分為萌芽階段、傳播階段和確立階段三個階段。萌芽階段從公元前約300年古巴比倫時期開始到公元640年希臘古代數(shù)學落幕為止，這段時期由于天文學的需要，三角學受到學者們的重視，它是天文學的一部分；傳播階段從公元640年希臘古代數(shù)學落幕后到15世紀文藝復興開始前為止，這段時期三角學在不同地區(qū)傳播，雖然其研究內容本質與萌芽階段時相比沒有區(qū)別，但它逐漸脫離天文學，成為了數(shù)學的一個分支；確立階段是從文藝復興開始至今，在微積分等新興數(shù)學力量的崛起下，三角學逐漸成為了其他數(shù)學分支中的一部分，而在此期間，弧度制成為了度量角的主要單位。

18世紀以前，人們一直是用線段的長來定義三角函數(shù)的?；《榷x的提出，是數(shù)學家Roger Cotes在1714年提出的，作為一種對角度的描述，使得對三角函數(shù)的研究大為簡化。中學數(shù)學教科書中都把radian譯作“弧度”。 1881年，學者哈爾斯特(G．B．Halsted)等用希臘字母ρ表示弧度的單位．1907年，學者包爾（G．N．Bauer)用r表示；1909年，學者霍爾(A．G．Hall)等又用R來表示，例如將單位弧度（角度制1°）寫成（π/180）rad，人們習慣把弧度的單位省略。1

基本思想弧度制的基本思想是使圓半徑與圓周長有同一度量單位，然后用對應的弧長與圓半徑之比來度量角度，這一思想的雛型起源于印度。那么半圓的弧長為π，此時的正弦值為0，就記為sinπ= 0，同理，1/4圓周的弧長為π/2，此時的正弦為1，記為sin(π/2)=1。從而確立了用π、π/2分別表示半圓及1/4圓弧所對的中心角。其它的角也可依此類推。1

角度與弧度角度分：在任意一個角一邊所對應的射線情況下，逆時針旋轉所形成的角稱為正角；順時針轉動所形成的角稱為負角；射線未作任何旋轉，仍留在原來位置，那么我們也把它看成一個角，叫做零角。1

弧度分：正角的弧度值是一個正量（正實數(shù)），負角的弧度值是一個負量（負實數(shù)），零角的弧度值是零。1弧度制能使角的集合與實數(shù)集合R存在一一對應關系：每一個角都對應唯一的一個實數(shù)。

角度制，就是用角的大小來度量角的大小的方法。在角度制中，我們把周角的1/360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度。由于1度的大小不因為圓的大小而改變，所以角度大小是一個與圓的半徑無關的量。

弧度制，顧名思義，就是用弧的長度來度量角的大小的方法。單位弧度定義為圓周上長度等于半徑的圓弧與圓心構成的角。由于圓弧長短與圓半徑之比，不因為圓的大小而改變，所以弧度數(shù)也是一個與圓的半徑無關的量。角度以弧度給出時，通常不寫弧度單位，有時記為rad或R。

換算

一個完整的圓的弧度是2π，所以：

2π rad = 360°，1 π rad = 180°，1°=π/180° rad ，1 rad = (180/π)°≈57.30°=57°18ˊ1

有關公式弧長公式

上式中，l為弧長，α為角度（弧度制），r為半徑。

推導：由弧度定義得

面積公式

上式中，S為面積，α為角度（弧度制），r為半徑。

推導：（角度制角度為n°）由，將α代入，得到

相關物理量角速度做圓周運動的物體在單位時間內所走的弧度即為角速度。符號：ω，單位：弧度每秒（rad/s）。定義公式：(α為所走過弧度，t為時間）。

由角速度、線速度（速率）的定義公式及弧長公式可以推出角速度與線速度的關系式：（r為半徑）2

周期做周期運動的物體完成一次周而復始的運動所需的時間即為周期。符號：T，單位：秒（s）。

在勻速圓周運動中，周期T與角速度ω有關，關系式為。2

意義弧度制之所以能成為當今數(shù)學主要的角的單位制度，主要原因有二：

(一)使進位制統(tǒng)一。在古巴比倫以及古希臘時期，數(shù)學家在研究天文學問題時，普遍習慣使用60進制對角進行度量，為了進位制的統(tǒng)一，也用60進制度量弦長和弧長。此時，角度制滿足了這種需求。而隨著歷史的發(fā)展，10進制取代了60進制成為了度量長度的主要進位制。為了保持進位制的統(tǒng)一，自然地也將角的進位制換成10進制?；《戎茲M足了這一需求，而且可以與角度制進行一一對應的換算，與原有數(shù)學系統(tǒng)相容．這樣，在查閱三角函數(shù)表時就可以看到用統(tǒng)一進位制表示的數(shù)，便于數(shù)與數(shù)之間的對比，提高解決問題的效率。

(二)簡化微積分創(chuàng)立后公式的計算．弧度制大約直到18世紀才被提出來，它的提出是受到微積分等近代數(shù)學發(fā)展的推動的。在弧度制下，與三角函數(shù)有關的一些公式在形式上均比角度制下有很大的簡化。正是因為這樣的優(yōu)越性，弧度制才逐漸被數(shù)學界普遍接受和廣泛使用3。