[科普中國]-動量算符

概念

微觀粒子的動量為 ，其中， 為其分量。在量子力學(xué)中，我們對粒子的動量進(jìn)行量子化，用動量算符表達(dá)粒子的動量，即

這等效于動量分量的量子化：

而動量的分量算符為

則動量的矢量算符為

1

動量算符的本征方程對于動量算符 ，其本征方程為

類似于對位置算符本征方程的分離變量處理，我們對動量算符的本征方程也進(jìn)行分離變量。令本征值為

屬于該本征值的本征態(tài)為

將式、式和式代人式，我們獲得動量的各分量算符的本征方程

注意到式中動量分量算符的數(shù)學(xué)形式，各分量算符的本征方程又可改寫成

對上式中的每個分量方程進(jìn)行積分運(yùn)算，可得動量算符的三個分量算符的本征態(tài)

式中 和 為待定的積分常量。于是動量算符 的本征態(tài)為

式中 為歸一化常數(shù)。顯然，動量算符的本征態(tài)是平面波，本征值連續(xù)取值，構(gòu)成連續(xù)譜。1

動量本征波函數(shù)的“歸一化”按波函數(shù)的歸一化思想，我們對 作內(nèi)積運(yùn)算

內(nèi)積的結(jié)果是動量本征波函數(shù)不能被歸一化。上述的積分在通常的意義下是發(fā)散的，這一情況在量子理論中對連續(xù)譜的情形具有普遍性：連續(xù)譜的本征態(tài)不是平方可積的。

實際上，在通常意義下連續(xù)譜的本征態(tài)不能歸一化到1，而是歸一化成 函數(shù)。這是因為連續(xù)譜的本征函數(shù)滿足以下的積分：

通過稍復(fù)雜的數(shù)學(xué)處理，可知

于是

1

坐標(biāo)算符與動量算符的對易式將坐標(biāo)算符和動量算符代入算符的對易式中：

然后，將上式作用到一個任意的態(tài)矢 上：

由于 是任意的態(tài)矢，故恒有

類似的，我們還可以得到

上面對易式可統(tǒng)一寫成

其中

必須指出，在量子理論中許多力學(xué)量的算符都是由坐標(biāo)算符和動量算符組合而成。于是，許多不同的力學(xué)量算符之間的對易關(guān)系也都涉及 這一對易式。所以，微觀粒子的坐標(biāo)算符與動量算符的對易式是量子理論中最基本和最重要的對易式。1

動量算符的物理意義現(xiàn)在我們來說明動量算符的物理意義．為簡單起見，可以只考慮一維運(yùn)動．設(shè)整個系統(tǒng)沿x方向平移一段小距離a（如下圖）．這時原來的態(tài) 變成了另一個態(tài) ．兩個態(tài)之間顯然有下面的關(guān)系：

因為距離a很小，可以作泰勒展開：

在a是無窮小的情況下，精確到一級項 ，有

狀態(tài) 平移后變?yōu)榱硪粋€態(tài)．根據(jù)算符的定義，這個新態(tài)等于某個算符作用在原來態(tài)上的結(jié)果．這個算符可以用動量算符表達(dá)出來，即為 ．特別在無窮小移動的情況下，動量算符純粹反映了系統(tǒng)空間平移的特性，所以有時也稱它為平移無窮小算符．這種看法和經(jīng)典力學(xué)里理解動量的精神是一致的．在經(jīng)典力學(xué)里，動量是反映粒子空間位置變化的趨勢或能力的．

推廣到三維空間，狀態(tài) 經(jīng)平移矢量a后變?yōu)?/p>

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