[科普中國(guó)]-微分法

在數(shù)學(xué)中，微分是對(duì)函數(shù)的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當(dāng)函數(shù)自變量的取值作足夠小的改變時(shí)，函數(shù)的值是怎樣改變的。當(dāng)某些函數(shù)f的自變量x有一個(gè)微小的改變h時(shí)，函數(shù)的變化可以分解為兩個(gè)部分。一個(gè)部分是線性部分，另一部分是比h更高階的無(wú)窮小，這種表示方法成為微分法。

簡(jiǎn)介在古典的微積分學(xué)中，微分被定義為變化量的線性部分，在現(xiàn)代的定義中，微分被定義為將自變量的改變量 映射到變化量的線性部分的線性映射 。這個(gè)映射也被稱為切映射。給定的函數(shù)在一點(diǎn)的微分如果存在，就一定是唯一的。

在數(shù)學(xué)中，微分是對(duì)函數(shù)的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當(dāng)函數(shù)自變量的取值作足夠小的改變時(shí)，函數(shù)的值是怎樣改變的。當(dāng)某些函數(shù) 的自變量 有一個(gè)微小的改變 時(shí)，函數(shù)的變化可以分解為兩個(gè)部分。一個(gè)部分是線性部分：在一維情況下，它正比于自變量的變化量 ，可以表示成 和一個(gè)與 無(wú)關(guān)，只與函數(shù) 及 有關(guān)的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個(gè)線性映射作用在 上的值。另一部分是比 更高階的無(wú)窮小，也就是說(shuō)除以 后仍然會(huì)趨于零。當(dāng)改變量很小時(shí)，第二部分可以忽略不計(jì)，函數(shù)的變化量約等于第一部分，也就是函數(shù)在 處的微分，記作 或 。如果一個(gè)函數(shù)在某處具有以上的性質(zhì)，就稱此函數(shù)在該點(diǎn)可微1。

不是所有的函數(shù)的變化量都可以分為以上提到的兩個(gè)部分。若函數(shù)在某一點(diǎn)無(wú)法做到可微，便稱函數(shù)在該點(diǎn)不可微。

定義微分法定義如下：

設(shè)函數(shù) 在某區(qū)間 內(nèi)有定義。對(duì)于 內(nèi)一點(diǎn) ，當(dāng) 變動(dòng)到附近的 （也在此區(qū)間內(nèi)）時(shí)，如果函數(shù)的增量 可表示為 （其中 是不依賴于 的常數(shù)），而 是比高階的無(wú)窮小，那么稱函數(shù) 在點(diǎn) 是可微的，且 稱作函數(shù)在點(diǎn) 相應(yīng)于自變量增量 的微分，記作 ，即 ， 是 的線性主部。

通常把自變量 的增量 稱為自變量的微分，記作 ，即 。

（函數(shù)在一點(diǎn)的微分，其中紅線部分是微分量 ，而加上灰線部分后是實(shí)際的改變量 。）

幾何意義設(shè) 是曲線 上的點(diǎn) 在橫坐標(biāo)上的增量，是曲線在點(diǎn) 對(duì)應(yīng) 在縱坐標(biāo)上的增量， 是曲線在點(diǎn) 的切線對(duì)應(yīng) 在縱坐標(biāo)上的增量。當(dāng) 很小時(shí)， 比 要小得多(高階無(wú)窮小)，因此在點(diǎn) 附近，我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段2。

微分法則和求導(dǎo)一樣，微分有類似的法則，例如，如果設(shè)函數(shù) 、 可微，那么：

1)

2）

3） ，

4）若函數(shù) 可導(dǎo)，那么 。

微分法與微分形式如果說(shuō)微分是導(dǎo)數(shù)的一種推廣，那么微分形式則是對(duì)于微分函數(shù)的再推廣。微分函數(shù)對(duì)每個(gè)點(diǎn) 給出一個(gè)近似描述函數(shù)性質(zhì)的線性映射 ，而微分形式對(duì)區(qū)域 內(nèi)的每一點(diǎn)給出一個(gè)從該點(diǎn)的切空間映射到值域的斜對(duì)稱形式： 。在坐標(biāo)記法下，可以寫成：

其中的是-射影算子，也就是說(shuō)將一個(gè)向量射到它的第個(gè)分量的映射。而是滿足：

的k-形式。

特別地，當(dāng)是一個(gè)從映射到的函數(shù)時(shí)，可以將寫作：

正是上面公式的一個(gè)特例。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王偉 - 副教授 - 上海交通大學(xué)