[科普中國]-正交化

簡介

線性無關(guān)向量組未必是正交向量組，但正交向量組又是重要的，因此就有一個問題：能否從一個線性無關(guān)向量組 出發(fā)，構(gòu)造出一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 ，并且使向量組 與向量組 等價（ ）呢?回答是肯定的，通過施密特正交化方法就可以實現(xiàn)。

設(shè){xn}是內(nèi)積空間 里面可列個或有限個線性無關(guān)的向量，則必定存在 中的標(biāo)準(zhǔn)正交系{en}使得對每個正整數(shù)n（當(dāng){xn}中只含有m個向量，要求n≤m），xn是e1，e2，…，en的線性組合。1

證明下面就來介紹這個方法，由于把一個正交向量組中每個向量經(jīng)過單位化，就得到一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，所以，上述問題的關(guān)鍵是如何由一個線性無關(guān)向量組來構(gòu)造出一個正交向量組，我們以3個向量組成的線性無關(guān)組為例來說明這個方法。設(shè)向量組 線性無關(guān)，我們先來構(gòu)造正交向量組 ，并且使 與向量組 等價（ ）。按所要求的條件， 是 的線性組合， 是 的線性組合，

為方便起見，不妨設(shè)

其中，數(shù)值k的選取應(yīng)滿足 與 垂直，即 ，注意到

于是得 ，

從而得 ，

對于上面已經(jīng)構(gòu)造的向量 與 ，再來構(gòu)造向量 ，為滿足要求，可令 ，其中， , 的選取應(yīng)滿足 分別與向量 與 垂直，

即

此解得

于是得

容易驗證，向量組 是與 等價的正交向量，若再將 單位化，即令

（i=1,2,3）則 就是滿足要求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

施密特正交化施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求歐氏空間正交基的一種方法。從歐氏空間任意線性無關(guān)的向量組α1，α2，……，αm出發(fā)，求得正交向量組β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm與向量組β1，β2，……，βm等價，再將正交向量組中每個向量經(jīng)過單位化，就得到一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，這種方法稱為施密特正交化。