[科普中國]-反變換法

基本介紹

反變換法是最常用且最為直觀的一種隨機(jī)變量生成方法。它基于概率積分變換定理，通過對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行反變換來實(shí)現(xiàn)，因此稱為反變換法。

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 ，則 的取值范圍為[0，1]。為了得到隨機(jī)變量的抽樣值，可以先產(chǎn)生在[0，1]區(qū)間上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量U，根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，可知其分布函數(shù)的反函數(shù) 必然滿足

因此，由得到的值即為所需要的隨機(jī)變量

如圖1所示。1

生成隨機(jī)變量的方法與步驟反變換法可用于從均勻分布、指數(shù)分布、三角分布、威布爾分布以及經(jīng)驗(yàn)分布中取樣，同時(shí)也是很多離散分布產(chǎn)生樣本的基本方法。下面結(jié)合具體的例子來說明生成均勻分布、指數(shù)分布和離散均勻分布等幾種隨機(jī)變量的方法和步驟。其他幾種分布類型的隨機(jī)變量的生成，可自行查閱相關(guān)資料。1

均勻分布【例1】均勻分布隨機(jī)變量X的生成。

設(shè)隨機(jī)變量X是[a，b]上均勻分布的隨機(jī)變量，即概率密度函數(shù)

則由可得到x的分布函數(shù)

根據(jù)其反函數(shù)，即有抽樣公式

因此，可得采用反變換法生成均勻分布的隨機(jī)變量的一般步驟，具體如下：

①生成獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)序列。

②令。則數(shù)列即為所求的均勻分布的隨機(jī)變量序列。

指數(shù)分布【例2】 指數(shù)分布隨機(jī)變量X的生成。

設(shè)X的分布函數(shù)為

令，可得其反函數(shù)

由于，則，即隨機(jī)變量u與1-u的分布是相同的，所以上式可改寫為

由此，可得到生成指數(shù)分布的隨機(jī)變量的一般步驟如下：

①生成獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)序列。

②令，則數(shù)列即為所求的指數(shù)分布的隨機(jī)變量序列。

離散均勻分布當(dāng)X是離散型的隨機(jī)變量時(shí)，由于離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)也是離散的，因此反變換法的形式也有所不同，不能直接利用反函數(shù)來獲得X的抽樣值。

設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，取值為，并記其概率密度函數(shù)為

且

相應(yīng)的分布函數(shù)為

為了應(yīng)用反變換法得到離散隨機(jī)變量X，先將[0，1]區(qū)間按的值分成n個(gè)子區(qū)間

并依次編號(hào)為1，2，…，n。若U是[0，1]區(qū)間上的均勻分布隨機(jī)變量，則某個(gè)的值落在哪個(gè)子區(qū)間上，相應(yīng)子區(qū)間對(duì)應(yīng)的就是所需要的輸出量。

【例3】離散均勻分布。

考察{1，2，…，n}上的離散均勻分布，其概率密度函數(shù)為

相應(yīng)的分布函數(shù)為

令，如果均勻分布U(0，1)的隨機(jī)數(shù)滿足

則可以通過取X=i來生成隨機(jī)變量X。

由式可求解得，即取i的值為大于或等于的最小整數(shù)。因此，生成離散型均勻分布的隨機(jī)變量的一般步驟如下：

① 生成獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)序列。

② 令，則數(shù)列即為所求的離散型均勻分布的隨機(jī)變量序列。1