[科普中國]-解析開拓

簡介

把解析函數(shù)的定義域擴大的過程。

解析開拓通常有兩種方法，一種是利用冪級數(shù)進行解析開拓，這是外爾斯特拉斯的貢獻。他研究了解析函數(shù)用冪級數(shù)表示的問題。如果已知一個冪級數(shù)，它在某個有限區(qū)域內表示一個復函數(shù)，外爾斯特拉斯推導出在其他區(qū)域中定義同一函數(shù)的另一些冪級數(shù)，這些冪級數(shù)都是已知復函數(shù)的解析開拓。在解析開拓的過程中，有時定義域逐次開拓后已不是平面域，而是覆蓋在平面上的多葉域，函數(shù)則成為多值函數(shù)。為此，外爾斯特拉斯引入完全解析函數(shù)與黎曼曲面的概念。他還給出第一個冪級數(shù)的例子，其收斂圓是它的自然邊界。這個冪級數(shù)所表示的函數(shù)是不能解析開拓的。

另一種解析開拓的方法是利用施瓦茲對稱原理，這是由德國數(shù)學家施瓦茲建立的把解析函數(shù)定義域作對稱擴大的解析開拓法1。

定義自然對數(shù)虛部之解析延拓

若f為一解析函數(shù)，定義于復平面C中之一開子集U，而V是C中一更大且包含U之開子集。F為定義于V之解析函數(shù)，并使

則F稱為f之解析延拓。換過來說，將F函數(shù)限制在U則得到原先的f函數(shù)。

解析延拓具有唯一性：

若V為兩解析函數(shù)F1及F2的連通定義域，并使V包含U；若在U中所有的z使得

則在V中所有點

此乃因 亦為一解析函數(shù)，其值于f的開放連通定義域U上為0，必導致整個定義域上的值皆為0。此為全純函數(shù)之惟一性定理的直接結果1。

解析介紹施瓦茲對稱原理施瓦茲對稱原理是把解析函數(shù)定義域作對稱擴大的解析開拓法，其基本原理是：設?的定義域G在上半平面內，且以實軸上線段у為部分邊界，?在 上有定義且連續(xù)，在G內解析，在γ上?取值平面上實軸的值。G關于實軸的對稱域 定義為，則?可解析開拓為域 的解析函數(shù)g，當時， ，當 時,。如果把原理中的上半平面改為圓實軸上的γ改為圓周上的弧， 改為G關于圓周對稱的域，利用線性分式變換，可以證這一原理仍成立。
此外，?在γ上可以改為取值平面上某圓周上的值。更一般的情況，如果?的定義域G的邊界有一段解析弧γ，?在 上連續(xù)，在G內解析，在γ上?取值在值平面的圓弧或解析弧上，則可證明，?可越過γ進行解析開拓。使開拓后的域包含γ 在內部。對稱開拓法一般應用于多邊形域，模函數(shù)的構造就是典型的例子1。

冪級數(shù)展開式原理完全解析函數(shù)是外爾斯特拉斯引入的解析函數(shù)的概念，它是冪級數(shù)定義的解析函數(shù)元素經(jīng)所有可能的解析開拓而成的整體。
函數(shù)元素是指具有非零半徑的收斂圓的冪級數(shù)，α稱為元素的中心。 是收斂圓內的解析函數(shù)。用有序對 表示這樣的元素。函數(shù) 稱為 的直接開拓,如果b在 的收斂圓內，在b的鄰域內。在平面上給定一弧у(t)，，у的起點,終點。元素稱為沿弧у的解析開拓，如果對每一個t,0≤t≤1，存在惟一的函數(shù)元素 ,使得對每個固定的t0，0≤t0≤1，當t充分接近t0時，pt總是的直接開拓，另外p0=p，p1=q。函數(shù)元素沿弧的解析開拓總是惟一的。

給定一個函數(shù)元素，沿所有可能的平面上弧的解析開拓得到的函數(shù)元素的全體，用F表示之，稱之為完全解析函數(shù)。F是一個函數(shù)元素集，它是一個解析函數(shù),它局部地等于其中每一個函數(shù)元素，它是一個多值函數(shù)。F的定義域一般已不是平面域。這個定義域局部地看是其中函數(shù)元素的收斂圓，它是這些收斂圓按對應元素的解析開拓連接而成的，覆蓋在平面上的多葉域。

按現(xiàn)代黎曼曲面定義，選取收斂圓作為局部參數(shù)鄰域，z作為局部參數(shù)，F(xiàn)的定義域是一個黎曼曲面，F(xiàn)是其上的單值解析函數(shù)。通常研究多值解析函數(shù)時，要分出它的單值分支。對此要用到所謂單值性定理，其具體的形式是：如果一個函數(shù)元素在一個單連通域內，沿所有的弧可以解析開拓，則開拓后得到一個惟一的單值解析函數(shù)，它在這單連通域內每點上的值等于函數(shù)元素的值。對于F來說，應用單值性定理,找出適當?shù)膯芜B通域,便分出F對應于其上的單值分支。完全解析函數(shù)最簡單的例子是，它的定義域是覆蓋在除去0點的平面上的兩葉域。

按單值性定理，在割去正實軸的平面上，它有兩個單值分支，它的定義域即黎曼曲面是由這兩葉割裂平面按兩個單值分支的解析開拓連接得到。這里的定義域不包含0點與∞點， 因此還要引入解析構形的概念。首先要擴充函數(shù)元素的概念?？紤]形如的級數(shù)，式中λ是正整數(shù)，μ是整數(shù)。這級數(shù)在一個λ葉圓上收斂，它是一個解析函數(shù)。

當λ=1時它就是前面的函數(shù)元素，稱為正則函數(shù)元素，其中μλα稱為分支點,它的階為λ-1。對于擴充后的函數(shù)元素，同樣可以定義直接開拓，及沿平面弧的解析開拓。極元素及代數(shù)函數(shù)的直接開拓是正則元素。對于擴大的函數(shù)元素類，給定一個函數(shù)元素，沿平面上所有弧的解析開拓得到函數(shù)元素的全體，記之為R，稱為解析構形。R是一個解析函數(shù)，它的值局部地由函數(shù)元素的值確定。它的定義域是正則元素的收斂圓及代數(shù)函數(shù)的λ葉圓經(jīng)解析開拓連接而成,它是一個黎曼曲面,在這里對于代數(shù)函數(shù)元素，取對應的λ葉圓作為局部參數(shù)鄰域，z=α+tλ作為參數(shù)映射，t作為局部參數(shù)。R是這黎曼曲面上的單值解析函數(shù)。從這一過程中可知，一個完全解析函數(shù)附加上所有極元素和代數(shù)函數(shù)元素后就成為解析構形。上面提到的,加上0 點及∞點的對應代數(shù)函數(shù)元素就是一個解析構形的最簡單例子，這時它的黎曼曲面成為閉曲面。解析構形的概念大大拓廣了解析函數(shù)的概念，例如，它使我們能夠定義代數(shù)函數(shù)及代數(shù)體函數(shù)。它使得一切解析函數(shù)都存在反函數(shù)，這些函數(shù)都是解析構形1。

基本原理通常有兩種解析開拓的方法，一是利用施瓦茲對稱原理，一是利用冪級數(shù)展開式。對于一個解析函數(shù)來說，它的定義域可能完全不能開拓，這時稱定義域具有自然邊界，有例子說明這點。另一情況是，定義域逐次開拓后已不是平面域，而是覆蓋在平面上的多葉域，函數(shù)本身是多值函數(shù)。據(jù)此，外爾斯特拉斯用冪級數(shù)解析開拓，引入完全解析函數(shù)與黎曼曲面的概念2。