[科普中國]-良序集

良序的定義

在數(shù)學(xué)中，集合S上的良序關(guān)系（或良序）需要滿足：1.是在S上的全序關(guān)系2.S的所有非空子集在這個次序下都存在最小元素。等價的說，良序是良基的線序。集合S和這個良序關(guān)系一起就叫做良序集合。

粗略的說，良序集合的排序方式，使得我們可以逐次考慮一個它的元素，而在還沒有檢視完所有的元素的任何時候，總是有一個唯一的下一個元素可考慮1。

良序的例子及反例1、自然數(shù)集在通常序下是良序集。

2、整數(shù)集在通常序下不是良序集，例如該集合本身就沒有一個最小元素。

3、整數(shù)的下列關(guān)系R是良序的：x R y，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立：

x=0；

x是正數(shù)，而y是負(fù)數(shù)；

x和y都是正數(shù)，而x≤y；

x和y都是負(fù)數(shù)，而y≤x。

這個序關(guān)系可以表示為：

0 1 2 3 4 …… -1 -2 -3 -4 -5 ……

4、實(shí)數(shù)集在通常序下不是良序集。

良序的性質(zhì)在良序集合中，除了整體上最大的那個，所有的元素都有一個唯一的后繼元：比它大的最小的元素。但是，不是所有元素都需要有前驅(qū)元。作為例子，考慮自然數(shù)的一個次序，這里的所有偶數(shù)都小于所有奇數(shù)，并在偶數(shù)和奇數(shù)內(nèi)應(yīng)用正常的次序。

0 2 4 6 8 ... 1 3 5 7 9 ...

這是個良序集合并被指示為ω+ω。注意盡管所有元素都有后繼元（這里沒有最大元素），有兩個元素缺乏前驅(qū)元：零和一。

如果一個集合可被良序化，超限歸納法證明技術(shù)可以用來證明給定陳述對于這個集合的所有元素為真。

良序定理，等價于選擇公理，聲稱所有集合都可以被良序排序。良序定理還等價于拉托夫斯基-佐恩引理2。

良序的等價條件對全序集(S,≤)，下列命題是等價的：

（1）(S,≤)是良序集，即其所有非空子集合都有最小元素。

（2）超限歸納法在整個全序集(S,≤)上成立。

（3）(S,≤)上的所有嚴(yán)格遞減序列必定在有限多步驟內(nèi)終止（假定依賴選擇公理）。

證明：使用循環(huán)證明法。

（1）→（2）：反設(shè)超限歸納法在(S,≤)上不成立，則存在一個性質(zhì)φ，使得對S中任意元素x，只要φ對S中小于x的任何元素都成立，那么φ對x也成立，然而φ并非對S中所有元素都成立，即S中所有不滿足φ的元素組成的集合A是非空集，則A在序關(guān)系≤下不可能有最小元素，否則該最小元素應(yīng)滿足φ，矛盾。

（2）→（3）：對序列的首項(xiàng)使用超限歸納法，則結(jié)論是顯然的。

（3）→（1）（依賴選擇公理）：對S的任一非空子集A，用選擇公理每次從A中選出一個元素，使得從第二次開始每次選出的元素都比前一次的小，則選出的所有元素構(gòu)成一嚴(yán)格遞減序列，該序列必定在有限步內(nèi)終止，但序列終止的唯一可能是選出了一個元素x使得A中沒有比x小的元素，從而x是A中的最小元素3。