[科普中國]-對偶

基本內(nèi)容

對偶問題：每一個線性規(guī)劃問題都存在一個與其對偶的問題，原問題與對偶問題對一個實際問題從不同角度提出來，并進(jìn)行描述，組成一對互為對偶的線性規(guī)劃問題。

對偶空間：設(shè)V為數(shù)域P上一個n 維線性空間。V上全體線性函數(shù)組成的集合記作L(V，P)。定義在L(V，P)上的加法和數(shù)量乘法：(f+g)(a)=f(a)+g(a)，(kf)(a)=kf(a)，則L(V，P)也是數(shù)域P上的線性空間。這樣構(gòu)造的L(V，P)就稱為V的對偶空間。1

對偶理論對偶理論是研究線性規(guī)劃中原始問題與對偶問題之間關(guān)系的理論。 在線性規(guī)劃早期發(fā)展中最重要的發(fā)現(xiàn)是對偶問題，即每一個線性規(guī)劃問題（稱為原問題）有一個與它對應(yīng)的對偶線性規(guī)劃問題（稱為對偶問題）。 1928年美籍匈牙利數(shù)學(xué)家 J.von諾伊曼在研究對策論時，發(fā)現(xiàn)線性規(guī)劃與對策論之間存在著密切的聯(lián)系。

對偶問題設(shè)線性規(guī)劃問題中P問題：min f = c'x ，Ax≥b ，且c'≥0；D問題：max g = y'b， y'A≤c'， 且y'≥0。問題 P和問題D互為對偶問題。其特點如下：目標(biāo)函數(shù)的目標(biāo)互為相反(max，min)；目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)是另一個約束條件右端的向量；約束系數(shù)矩陣是另一個的約束系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置；約束方程的個數(shù)與另一個的變量的個數(shù)相等；約束條件在一個問題中為“”，在另一個問題中為 “”。

基本性質(zhì)弱對偶性：CX≤Yb， X、Y分別為原始問題和對偶問題的可行解。這個定理表明極大化問題任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值總是不大于它的對偶問題的任一可行解的目標(biāo)函數(shù)值。

最優(yōu)性：當(dāng)原問題與對偶問題均有可行解X、Y，且當(dāng) CX=Yb時， 則X、Y分別是原問題與對偶問題的最優(yōu)解。

無界性：如果原問題（對偶問題）有無界解，則對偶問題（原問題）無可行解。

強(qiáng)對偶性：若原問題有最優(yōu)解，則對偶問題也一定有最優(yōu)解，且目標(biāo)函數(shù)值相等。

互補松弛性：變量為“0”時，其對應(yīng)約束條件為“=”；約束條件為“”時，其對應(yīng)對偶變量為“0”。線性規(guī)劃問題的約束條件與對偶變量一一對應(yīng)，即一個問題的約束條件和另一個問題的變量對應(yīng)，一個問題的變量和另一個問題的約束條件對應(yīng)。

經(jīng)濟(jì)意義對偶變量 的意義代表對一個單位第i種資源的估價，稱為影子價格。影子價格不同于市場價格，b代表資源的擁有量， 代表在資源最優(yōu)利用條件下對單位資源的估價，但不是市場價，而是對資源在生產(chǎn)中做出的貢獻(xiàn)的估價，一般稱為影子價格。市場價格是已知的，而影子價格則與資源的利用情況有關(guān)，利用的好，影子價格就高，反之亦然。影子價格是一種邊際價格（對偶變量 在經(jīng)濟(jì)上表示原問題第i種資源的邊際價值） 。影子價格又是一種機(jī)會成本。當(dāng)市場價大于影子價格，賣出資源；當(dāng)市場價小于影子價格，買入資源，組織生產(chǎn)。影子價格說明了不同資源對總的經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生的影響，因此對企業(yè)經(jīng)營管理提供一些有價值的信息。2

對偶原理數(shù)學(xué)中的對偶原理

1.如果兩個三角形的對應(yīng)頂點的連線相會于一點，則這兩個三角形的對應(yīng)邊的交點必定在同一直線上。

（如果兩個三角形的對應(yīng)邊的交點在同一直線上，則這兩個三角形的對應(yīng)頂點的連線必定相會于一點。）

2.一個六邊形的六個頂點在一條二次曲線上，當(dāng)且僅當(dāng)，該三對對邊的交點在一條線上。

（一個六邊形的六條邊切一條二次曲線，當(dāng)且僅當(dāng)，聯(lián)該三對頂點的線交于一點。）

物理中的對偶原理

在電磁學(xué)中，均勻介質(zhì)中的靜電場與均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場有對偶關(guān)系，電位移矢量D與電流密度矢量J，電荷q與電流I對偶。電路中，電壓源與電流源、短路與開路、串聯(lián)與并聯(lián)、電阻與電導(dǎo)、電容與電感，都存在對偶關(guān)系。在使用節(jié)點電壓法和回路電流法時，不改變互為對偶的元件的值，將會得到形式完全一樣的對偶方程，從而得到相同的一組解。

現(xiàn)代控制理論中的對偶原理

在自動控制論中，有時候需要研究系統(tǒng)的可控性和可觀測性。利用對偶原理可以對研究系統(tǒng)方程帶來很多方便。3

應(yīng)用對偶在求數(shù)列中若干項的和或積的問題上有一定的應(yīng)用。如果能對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行對稱性的分析，將數(shù)學(xué)的對稱美與題目的條件或結(jié)論相結(jié)合，就能構(gòu)建一組互相關(guān)聯(lián)的對偶式，從而確定解題的總體思路或入手方向。其實質(zhì)是讓美的啟示、美的追求在解題過程中成為宏觀指導(dǎo)力量，使問題的解決過程更加簡潔明快。對稱在數(shù)學(xué)上常常表現(xiàn)為數(shù)式或圖形的對稱，命題或結(jié)構(gòu)的對偶或?qū)?yīng)。在數(shù)學(xué)解題過程中，若能積極挖掘問題中隱含的對稱性，巧妙地利用對稱性，可使復(fù)雜的問題變得條理清楚，脈絡(luò)分明，能化難為易、化繁為簡。1

對偶理論則廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析中。例如，在經(jīng)濟(jì)均衡的分析中，可以通過設(shè)計優(yōu)化模型，運用對偶理論和模型體系研究市場均衡及其實現(xiàn)均衡所需要的基本條件。

對偶原理在現(xiàn)代數(shù)學(xué)特別是幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，對于推動數(shù)學(xué)的發(fā)展起著很好的作用。舉例來講，在范疇論中，借助于對偶變換(對偶化)，由始對象便可得終對象、由單態(tài)射得滿態(tài)射、由核得上核、由積得上積；在同調(diào)代數(shù)中，由正向極限得反向極限、由內(nèi)射模得投射模、由內(nèi)射包得投射包、由投射分解(維數(shù))得內(nèi)射分解(維數(shù))、由復(fù)形得上復(fù)形、由雙復(fù)形得上雙復(fù)形、由同調(diào)得上同調(diào)等。3