[科普中國]-無理方程

基本概念

被開方式中含有未知數(shù)的方程是無理方程，無理方程的一般解法是把方程有理化，轉(zhuǎn)化為有理方程求解。

①移項平方：將根號移向一邊，其余均在另一邊，平方即去掉根號，轉(zhuǎn)成整式方程；

②解整式方程；

③代回原方程驗證，滿足定義域即可，反之舍掉。

注意點： 求定義域要考慮兩方面：根號下非負，移項后左右兩邊均非負。即如 ，移項后得 平方去根號得 ，所以 ，所以得 故 其定義域應(yīng)滿足 ，即 ，原方程的根只有一個，即1。1

無理方程的辨別判斷一個方程是否是無理方程，只看形式上是否同時符合無理方程定義中的兩個條件：①含根式；②被開方數(shù)中含有未知數(shù)。2

判斷無理方程有無實根例1下列無理方程中，有實數(shù)解的是（ ）。

① ②

③ ④

⑤ ⑥

解: 第①小題，方程左邊大于等于0，而右邊小于0．所以無解。

第②小題，兩邊平方可求得方程的根為x=2；

第③小題，解無理方程是在實數(shù)范圍內(nèi)進行，故要使二次根式有意義，須且只能等于2，因而方程左邊等于0，而右邊等于1，兩邊不等，所以無解。

第④小題，同第③小題，要使根式有意義，只能等于2，而當時，方程左右兩邊相等，因而方程有解。

第⑤小題，根據(jù)實數(shù)的非負性，可求得

第⑥小題，同第③小題．要使二次根式有意義，有且即且所以無解。

所以，有實數(shù)解的是②④⑤。

注意： 判斷一個無理方程無解的方法主要是借助兩個實數(shù)的非負性，即(二次)根式的被開方數(shù)非負(內(nèi)非負)，如⑥；二次根式的值非負(外非負)，如①、③用到了內(nèi)非負，但也用到了別的原則。2

無理方程解法詳述解無理方程的基本思想和步驟：

無理方程的解法，主要是運用“化歸的數(shù)學(xué)思想”將它化為有理方程，基本方法是“兩邊平方”，這一步不是同解變換，所以必須驗根．有時還用“換元法”和其他一些技巧。后面將要提到的換元法、觀察法等，實際上最后都離不開“兩邊平方”。

“兩邊平方”法“兩邊平方”法一般步驟：

①兩邊平方，把原方程化為有理方程；

④解這個有理方程，

③驗根并作答：將解得的根代入原無理方程檢驗。

(2) 驗根問題：

無理方程的驗根和分式方程不同．驗根時不但要將它代入根式內(nèi)，檢驗被開方是否非負；還要代入整個方程，檢驗它是否適合等式．例如下列例題的第(1)小題，代入根式是有意義的，但代入方程，兩邊不相等，所以還是增根。2

例2 解下列關(guān)于的無理方程：

解: (1)兩邊平方，整理得

解得

經(jīng)檢驗，代入方程中不合理，故是原方程的增根，舍去。

所以，原方程的根是

(2)兩邊平方，整理得

或

解得

經(jīng)檢驗，是原方程的增根，舍去。

所以，原方程的根是。

換元法例3 解方程：。

解： 設(shè)，則原方程可變成

(1)當時，所以無解。

(2)當時，

經(jīng)檢驗都是原方程的根，所以原方程的根為。

這是解無理方程的第二種解法——換元法。

用換元法解無理方程的一般步驟：

(1) 觀察、分析方程的特點，尋求換元簡捷途徑，設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式去表達方程中另外的代數(shù)式；

(2) 解所得到的關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；

(3) 把輔助未知數(shù)的值代入原設(shè)中，求出原方程未知數(shù)的值；

(4) 檢驗并作答。

換元法通常用于用“兩邊平方”法無法解決或難以解決的時候(得到的有理方程是高次方程)，也常用于“兩邊平方”法雖可以解決，但比較繁瑣的情形。

無論用什么方法解無理方程，驗根都是必不可少的重要步驟。2