[科普中國(guó)]-直積

基本介紹

對(duì)于兩個(gè)集合U和V，由U的元素 和V的元素 的有序組 構(gòu)成的集合 稱為U和V的直積集，記作 。當(dāng)U、V具有像群、環(huán)等那樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，如果對(duì) 定義同樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)，則稱 是U和V的直積當(dāng)U、V具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí)，可以通過(guò)對(duì) 定義適當(dāng)?shù)耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu)來(lái)定義U和V的直積。因?yàn)橹狈e的概念是根據(jù)它的每個(gè)因子具有的結(jié)構(gòu)在直積集中定義同樣的結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生的。所以它在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都會(huì)出現(xiàn)。最簡(jiǎn)單的例子是，可以把平面看作直線和直線的直積。群的直積、拓?fù)淇臻g的直積、度量空間的直積、賦范線性空間的直積等都是重要的直積的例子。2

群的直積設(shè) 是兩個(gè)群，在 上定義一個(gè)二元合成如下：對(duì) ，令

關(guān)于這一合成構(gòu)成群,稱為群 的直積或直積群。如果采用加法記號(hào)，則稱為群 的真和。

群的直積在群論研究中占有很重要的地位：群的外直積提供了由已知群構(gòu)造新群的方法，群的內(nèi)直積分解可把研究群G的結(jié)構(gòu)化為研究其若干子群的結(jié)構(gòu)，例如，任一有限生成交換群必可分解為若干循環(huán)子群的直積。

拓?fù)淇臻g的直積設(shè) 是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，則 上以{ 是 的開(kāi)集， 是 的開(kāi)集}為基的拓?fù)?，稱為 的拓?fù)涞姆e拓?fù)?，而賦予這一拓?fù)涞闹狈e ，稱為拓?fù)淇臻g 的直積。

度量空間的直積設(shè) 是兩個(gè)度量空間， 分別是 上的距離，如果對(duì) ，令

則d是 上的一個(gè)距離函數(shù)。賦予這一距離的 ，稱為度量空間 的直積。

賦范線性空間的直積設(shè) 是兩個(gè)賦范線性空間， 分別表示 上的范數(shù)。如果對(duì) ，令

則 是 上的—個(gè)范數(shù)。又對(duì) ， 。令

則 又成為一個(gè)線性空間。連同方才定義的范數(shù) ， 成為一個(gè)賦范線性空間，稱為賦范線性空間 的直積。2

矩陣的直積設(shè) ，稱如下的分塊矩陣

為A與B的直積(張量積或Kronecker****積)，記為。3

由定義可知， 是一個(gè) 塊的分塊矩陣，它是一個(gè) 行 列的矩陣， 與 有相同的階數(shù)，但一般 ≠ ，即矩陣的直積不滿足交換律。

由直積的定義容易推出以下定理。

(1) 兩個(gè)上三角陣的直積也是上三角陣；

(2) 兩個(gè)對(duì)角陣的直積仍是對(duì)角陣；

(3) ( 為單位矩陣)。3