[科普中國]-可測變換

簡介

給定兩個(gè)測度空間Ω1和Ω2，映射f：Ω1→Ω2稱為從Ω1到Ω2的可測變換。是從一個(gè)測度空間到另一個(gè)測度空間之間的一個(gè)映射。設(shè)f是從Ω1到Ω2的可測變換，且f是雙射，則稱f為從Ω1到Ω2的雙可測變換****。

概念可測變換亦稱可測映射，是可測函數(shù)概念的推廣，主要用于抽象積分的變數(shù)變換。設(shè)(Ω1，F(xiàn)1)和(Ω2，F(xiàn)2)是兩個(gè)可測空間，f是Ω1到Ω2中的映射。如果(Ω2，F(xiàn)2)中每個(gè)可測集A的原像f-1(A)均是(Ω1，F(xiàn)1)中的可測集，那么f稱為Ω1到Ω2的可測映射。若f是可測空間(Ω，F(xiàn))上的實(shí)值函數(shù)，則f在(Ω，F(xiàn))上可測的充分必要條件是f為(Ω，F(xiàn))到(Rc，Bc)中的可測映射，其中R為實(shí)數(shù)空間，B為波萊爾集類。若f是可測空間(Ω，F(xiàn))上的擴(kuò)充實(shí)值函數(shù)，則f在(Ω，F(xiàn))上可測的充分必要條件是f為(Ω，F(xiàn))到(R，B)中的可測映射，其中R為擴(kuò)充實(shí)數(shù)空間，B為廣義波萊爾集類。若f是測度空間(Ω，F(xiàn)，μ)到可測空間(Ω′，C)的可測映射，g是(Ω′，C)上的可積函數(shù)，則：1

又若A∈C，則：

測度論亦稱抽象測度論或抽象積分論，研究一般集合上的測度和積分的理論。是勒貝格測度和勒貝格積分理論的進(jìn)一步抽象和發(fā)展。

測度是集合的一種度量，它是長度、面積、體積概念的推廣。首先試圖把長度、面積、體積概念推廣到任意點(diǎn)集而得出一般的“測度”觀念的是杜·布瓦-雷蒙( P.D.G.Du Bois-Reymond)，他在《一般函數(shù)論》(1882年)中提出容量概念，即測度概念的雛形。隨后漢克爾(H.Hankel)、施托爾茨(O.Stolz)、哈納克(C.G.A.Harnack)、康托爾(G.(F.P.).Cantor)等人發(fā)展了這種思想，其中康托爾于1884年對(duì)直線上的有界集A定義它的測度μ(A)：首先對(duì)任意正數(shù)δ，令：

μ(Sδ)代表Sδ的長度；再令：

康托爾給出的測度不具有可加性。例如，設(shè)Q為有理數(shù)全體，A=[0，1]∩Q，B=[0，1]\A，則[0，1]=A∪B，μ(A)=μ(B)=1，μ([0，1])=1，但μ([0，1])≠μ(A)+μ(B)，因而很不合理。

佩亞諾(G.Peano)于1887年引入了平面有界集A的內(nèi)、外測度的概念：包含A的多邊形面積的下確界稱為A的外測度，含于A內(nèi)的多邊形面積的上確界稱為A的內(nèi)測度。若A的內(nèi)、外測度相等，則這個(gè)公共值稱為A的測度，并稱A為可測集。佩亞諾證明了：

1.A可測的充分必要條件是A的邊界的外測度為0。

2.若f(x)是定義在[a，b]上的有界正函數(shù)，A={(x，y)|a≤x≤b，0≤y≤f(x)}，則f(x)的黎曼下積分為A的內(nèi)測度，黎曼上積分為A的外測度，f(x)黎曼可積當(dāng)且僅當(dāng)A是可測集。

3.測度具有有限可加性。

若爾當(dāng)(M.E.C.Jordan，)于1892年在R中發(fā)展了佩亞諾可測集的概念。原來定義外測度時(shí)，要用多邊形去覆蓋點(diǎn)集，他規(guī)范為用有限個(gè)開區(qū)間去覆蓋，其余不變.若爾當(dāng)?shù)母倪M(jìn)使測度概念前進(jìn)了一大步，蘊(yùn)涵了勒貝格測度的萌芽，但仍有明顯的缺點(diǎn)。主要是它仍只具有有限可加性，從而導(dǎo)致有些簡單的點(diǎn)集也不可測。例如，令A(yù)=[0，1]∩Q，則A的若爾當(dāng)內(nèi)測度為0，而外測度為1，因而A在若爾當(dāng)意義下不可測。總之，若爾當(dāng)測度只適合于黎曼積分的需要。波萊爾((F.-é.-J.-)é.Borel)于1898年，先由開集經(jīng)過可列并與余的運(yùn)算導(dǎo)致一類集，即所謂波萊爾集類。再對(duì)每個(gè)有界波萊爾集對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，即波萊爾測度，并使得這種測度具有可列可加性。波萊爾的這種思想對(duì)測度理論做出了重大貢獻(xiàn)，成為近代測度論中用公理方式引出σ代數(shù)概念的起源，并為勒貝格(H.L.Lebesgue)的工作開辟了道路。波萊爾的學(xué)生勒貝格在前人工作的基礎(chǔ)上，于1902年以更一般的形式建立起比較完善的測度理論.他在定義點(diǎn)集測度的方法上，容許可列覆蓋，使所建立的測度具有可列可加性，并且相當(dāng)廣泛的一類點(diǎn)集的測度有了定義。勒貝格測度是現(xiàn)代抽象測度的起源，在它的基礎(chǔ)上建立的勒貝格積分，是現(xiàn)代分析中應(yīng)用最廣和意義重大的積分?？ɡ鲓W多里(C.Carathéodory)于1914年發(fā)展了外測度理論，對(duì)測度進(jìn)行了公理化研究，并給出了測度擴(kuò)張的典型方法，成為近代測度論的基礎(chǔ).拉東(J.Radon)、薩克斯(S.Saks)、弗雷歇(M.-R.Fréchet)以及另外一些人考慮了一般集合上的測度以及測度空間的乘積，并建立了一般可測集上積分的理論。

一般集合上的測度和積分理論是最廣泛的測度理論，但為適應(yīng)各方面的需要，還出現(xiàn)了其他種種特殊的測度和積分。例如，20世紀(jì)30年代初，伴隨著人們對(duì)取值于巴拿赫空間的函數(shù)性質(zhì)特別是可微性和可積性的研究，出現(xiàn)了有關(guān)向量值測度的一些工作。1960年以后，向量值測度理論得到蓬勃發(fā)展，并逐漸趨于完善。又如，19世紀(jì)建立的傅里葉分析理論，對(duì)于應(yīng)用數(shù)學(xué)而言，當(dāng)時(shí)已是令人滿意的數(shù)學(xué)工具，但由于黎曼積分的局限性，對(duì)于函數(shù)與展開式之間的關(guān)系，直到勒貝格積分理論確立之后才有深刻的揭示.勒貝格積分的出現(xiàn)對(duì)于傅里葉展開的研究顯然促進(jìn)了一大步，但依舊顯示出了它的局限性.研究拓?fù)淙荷系臏y度是建立群上傅里葉分析的基本問題之一，這個(gè)問題自1930年以來，經(jīng)過哈爾(Haar，A.)、韋伊(A.Weil)和蓋爾范德(И.М.Гельфанд)等人的工作而趨于完善.再如，20世紀(jì)初測度論的建立，使得人們對(duì)R中的子集關(guān)于n維勒貝格測度的性質(zhì)有了很好的了解。但在處理與R中低維點(diǎn)集有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)遇到了困難。在這種背景下，20世紀(jì)20年代出現(xiàn)了幾何測度論，它是研究高維空間中低維點(diǎn)集的測度及低維點(diǎn)集上積分的理論。

測度概念與積分概念緊密相關(guān)。每一種測度理論的推廣都可導(dǎo)致一種積分理論的推廣。測度理論不僅是積分理論的基礎(chǔ)，而且在現(xiàn)代分析以及概率論等許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用。2

可測函數(shù)分析學(xué)中討論得最廣的函數(shù)類。它有許多等價(jià)的定義方式，這里采用如下定義：設(shè)(Ω，F(xiàn))為可測空間，f(x)是定義在Ω上的實(shí)值(或擴(kuò)充實(shí)值)函數(shù)。若對(duì)任意實(shí)數(shù)c，恒有{x|f(x)>c}∈F，則f(x)稱為(Ω，F(xiàn))中的可測函數(shù)或Ω上的F可測函數(shù)。在這個(gè)定義中，條件f(x)>c可用f(x)≥c，f(x)