[科普中國(guó)]-有限群

發(fā)展歷史

有限群論是群論的基礎(chǔ)部分，也是群論中應(yīng)用最為廣泛的一個(gè)分支。歷史上，抽象群論的許多概念起源于有限群論。近年來，隨著有限群理論的迅速發(fā)展，其應(yīng)用的日益增多，有限群論已經(jīng)成為現(xiàn)代科技的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，是一般科技工作者樂于掌握的一個(gè)數(shù)學(xué)工具。有限群論無論是從理論本身還是從實(shí)際應(yīng)用來說，都占有突出地位，它中的置換群、可解和非可解群、冪零群、以及群表示論等等，都是重要的研究對(duì)象，總之，其內(nèi)容十分豐富而且龐大。

有限群的研究起源很早，其形成時(shí)期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及后來的伽羅瓦、若爾當(dāng)?shù)热说拿窒嗦?lián)系的。1829年伽羅瓦（Galois）引入了置換群的概念，并成功地解決了一個(gè)方程可用根式求解的充要條件。置換群是群論歷史上最先知道的一種具體的群。拉格朗日和高斯在研究數(shù)論中的二次型類是出現(xiàn)過交換群的概念；Cayley（凱萊）曾經(jīng)在1849年提出過抽象群，但這個(gè)概念的價(jià)值當(dāng)時(shí)沒有被認(rèn)識(shí)到，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越時(shí)代的Dedekind（戴德金）在1858年給有限群下了一個(gè)抽象的定義，這個(gè)群是從置換群中引導(dǎo)出來的，他又在1877年提出了一個(gè)抽象的有限交換群。Kronecker（克羅內(nèi)克）也給出了一個(gè)相當(dāng)于阿貝爾群的定義，他規(guī)定了抽象的元素，運(yùn)算，封閉性，結(jié)合性，交換性。以每個(gè)元素的逆運(yùn)算的存在和唯一。他還證明了一些有關(guān)群的定理。1878年又是凱萊提出了一個(gè)群可以看作一個(gè)普遍的概念。毋需只限于置換群，這樣認(rèn)識(shí)到抽象群比置換群包含更多的東西。德國(guó)數(shù)學(xué)家霍爾德在l889年以后的若干年內(nèi)，詳細(xì)地研究了單群和可解群，證明：一個(gè)素?cái)?shù)階循環(huán)群是單群，n個(gè)（n>=5）文字的全部偶置換組成的交換群是單群。他還發(fā)現(xiàn)了許多其他有艱的單群。赫爾德和若爾當(dāng)還建立了在有限群中的若爾當(dāng)一霍爾德合成群列和若爾當(dāng)一霍爾德定理。在19世紀(jì)末，德國(guó)數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世紀(jì)初伯恩塞德證明的關(guān)于 (p,q是素?cái)?shù)）必是可解群的定理，導(dǎo)致了對(duì)有限單群進(jìn)行分類的重要研究。美國(guó)數(shù)學(xué)家湯普森和菲特在20世紀(jì)60年代初證明了有限群中長(zhǎng)期懸而未決的一個(gè)猜想（伯恩塞德猜想）；奇數(shù)階群一定是可解群。它推動(dòng)了有限群理論的發(fā)展。有限單群的完全分類，即找出有限單群所有的同構(gòu)類，經(jīng)過上百名數(shù)學(xué)家約百年的共同努力．于1981年得到完全解決，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)非凡成就。1

說明設(shè)G是一個(gè)群， 如果G是有限集合，那么就稱為有限群。

假若群G是一個(gè)有限群，則組成G的元的個(gè)數(shù)為G的階，記為 |G|。

有限群的分類是個(gè)重要的數(shù)學(xué)問題。這個(gè)問題經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的努力中有了完美的答案（相關(guān)概念如“魔群”）。

比如素?cái)?shù)階的有限群都是循環(huán)群。2

15階分類Z表示循環(huán)群，S表示置換群，A表示交錯(cuò)群，D表示二面群，×表示直積。

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群中長(zhǎng)期懸而未決的一個(gè)猜想，奇數(shù)階的群一定是可解群，因而有限非交換單群的階必為偶數(shù)。

西洛性質(zhì)有限群理論中一個(gè)經(jīng)典而重要的結(jié)果是著名的拉格朗日定理：有限群G的階│G│等于G的子群H的階│H│與H在G內(nèi)的指數(shù)│G:H│的乘積，即│G│=│H│·│G:H│。但是，并非對(duì)│G│的任何因數(shù)d,G一定有階為d的子群。例如，四次交錯(cuò)群A4的階為12，而A4沒有6階子群（見置換群）。當(dāng)│G│的因數(shù)是pk形的數(shù)即一素?cái)?shù)p的k次冪時(shí)，則G必有階為pk的子群。這就是有名的西洛第一定理。若除盡│G│的p的最高次冪是pm，其中p是素?cái)?shù)，m是自然數(shù)，則G的pm階子群稱為西洛p子群。所謂西洛第二定理，其意為：①G中任兩個(gè)西洛p子群在G內(nèi)是共軛的；②G中西洛p子群的個(gè)數(shù)N，必滿足N呏1(modp），且為任一西洛p子群的正規(guī)化子在G內(nèi)的指數(shù)；③G中凡是階為pk的子群必為某西洛p子群的子群。進(jìn)一步有關(guān)于有限可解群的西洛基定理：G為可解群的公式

充分必要條件是G有一組西洛基S1，S2，…，Sr，使G=S1S2…Sr。所謂西洛基，是指當(dāng)G的階（素因數(shù)分解）時(shí)，G的一組西洛pi子群Si，i=1，2，…，r，且，使?？山馊旱奈髀寤恢挂唤M，但是，可解群的任意兩組西洛基S1,S2，…，Sr與p1，p2，…，Sr是等價(jià)的，即在G中必有元素g使。階為素?cái)?shù)冪的群，習(xí)慣上稱為p群。西洛子群都是 p群。有限可解群可以表為p群之積。西洛第一定理和第二定理統(tǒng)稱為西洛定理。在有限可解群中可得到西洛定理推廣的結(jié)果：有限群G為可解群的充分必要公式

條件是，只要有分解│G│=mn,(m,n)=1，G就有階為m的子群；當(dāng)G是可解群時(shí)，凡是階為m的子群必互為共軛，若m1│m，則G中凡是階為m1的子群必為G中至少一個(gè)階為m的子群的子群。這樣的m階子群，通常稱為可解群G中的霍爾π子群。 所謂群的π 性質(zhì)，意即西洛性質(zhì)的推廣。西洛性質(zhì)是西洛定理的同義語，即如果有限群G的階|G|=g,h│g，（h,g/h)=1,h為素?cái)?shù)冪，那么G至少有一個(gè)h階子群，且任意兩個(gè)h階子群是共軛的，而G中凡是以h的因數(shù)為階的子群，一定是G中某個(gè)h階子群的子群。P.霍爾去掉上述條件中的“h為素?cái)?shù)冪”而設(shè)“G是可解群”并得到了同樣的結(jié)論。于是，根據(jù)P.霍爾的這一思想方法，將“h為素?cái)?shù)冪”改為其他條件來進(jìn)行探索的工作頗多。例如，“h為素?cái)?shù)冪”改為“G包含一個(gè)h階冪零子群”，仍得到相應(yīng)的結(jié)論，即古典的西洛定理推廣到含有h的一切素因數(shù)的集合π上所得的結(jié)果。3

冪零群當(dāng)可解群 G的西洛基中諸西洛子群都是正規(guī)子群時(shí)，則可解群G稱為冪零群。冪零群是可解群中的一個(gè)子類。有限群G為冪零群的充分必要條件是，G可表為p群的直積。p群自身當(dāng)然是冪零群。除公式

了這個(gè)充分必要條件外，還有幾個(gè)互為等價(jià)的充分必要條件，其中最重要的是，G有上中心列或下中心列。所謂上中心列，是指G有長(zhǎng)為m的子群列，使，且其中 Z1(G）為 G 的中心Z(G），而遞歸地給出Zk+1(G）使Zk+1(G)/Zk(G）是商群G/Zk(G）的中心。由G的限性可知，必有某自然數(shù)k使，因此當(dāng)m≥k時(shí)，恒有Zm(G)=Zk(G）。特別地，有某m使Zm(G)=G。所謂下中心列，是指G有長(zhǎng)為n的子群列。設(shè)H、K是G的任意兩個(gè)子集，【H,K】表示由形如 的元素所生成的G的子群，即【H,K】=；，于是【H,K】=【K,H】。當(dāng)【x1，…，xn】定義后，再遞歸地定義。同樣，對(duì)G的子集H1，…，Hn也作公式

類似的定義，且當(dāng)任意xi∈G(i=1,2，…，n）時(shí)，則定義，因此，且。易知。從G的有限性可知，有某自然數(shù)k使。因此當(dāng)m≥k時(shí)恒有Km(G)=Kk(G）。特別地，有自然數(shù) n使Kn+1(G)=1。有限群的上中心列和下中心列兩者同時(shí)存在，且其長(zhǎng)相等，此時(shí)G必為冪零群，稱為n類冪零群。因而，1類冪零群就是交換群。由此可知，冪零群是介于交換群與可解群之間的一類群。冪零群有下中心列，可解群則有換位群列。G為可解群的充分必要條件是，G有換位群列。所謂換位群列，是指G的子群列，式中為的換位子群，即，而n是某一正整數(shù)。此時(shí)G也稱為n步可解群。1步可解群就是交換群。

p群在有限群的研究中，p群具有重要的意義?；ゲ煌瑯?gòu)的pn階群究竟有多少個(gè)，是一個(gè)古老而艱難的問題。迄今只解決了當(dāng)p為奇素?cái)?shù)且n≤6時(shí)以及當(dāng)p=2且n≤7時(shí)pn階群的個(gè)數(shù)問題。關(guān)于p群方面的工作頗多，其中由P.霍爾發(fā)表的計(jì)數(shù)原理與正則 p群是奠基性的工作。所謂計(jì)數(shù)定理，例如，設(shè)公式

|G|=pn,Sk(G）表示G中pk階子群的個(gè)數(shù)，其中0≤k≤n。當(dāng)Sk(G)=1（12，則對(duì)于1Gr=1所成的每公式

個(gè)商群是單群。

在群G中由有限多個(gè)正規(guī)子群組成的降鏈?zhǔn)笹i為真包含于Gi-1內(nèi)的G之極大正規(guī)子群（即Gi-1/Gi是G/Gi的極小正規(guī)子群），稱為G的主群列。G的任意兩個(gè)主群列是等價(jià)的。其等價(jià)定義與合成群列的等價(jià)定義相同。

有限群有合成群列或主群列存在，且任意兩個(gè)合成群列或主群列是等價(jià)的。這就是若爾當(dāng)-赫爾德-施賴埃爾定理。凡是階等于pαъ的群恒為可解群，其中p、是互異的素?cái)?shù)，α、b是非負(fù)整數(shù)。這就是著名的伯恩賽德定理。而W.費(fèi)特、J.湯普森在20世紀(jì)60年代初期又證明了有限。4

有關(guān)非可解群非可解群中目前還有很多屬于數(shù)學(xué)的難題，許多數(shù)學(xué)家也發(fā)表了不少見解和猜想。如：

《最高階元素個(gè)數(shù)為40的非可解群的分類 》、《具有一個(gè)很大交換子群的有限非可解群》等等。