[科普中國]-概率空間

定義

概率空間(Ω,F,P)是一個(gè)總測度為1的測度空間（即P(Ω)=1）.

第一項(xiàng)Ω是一個(gè)非空集合，有時(shí)稱作“樣本空間”。Ω 的集合元素稱作“樣本輸出”，可寫作ω。

第二項(xiàng)F是樣本空間Ω的冪集的一個(gè)非空子集。F的集合元素稱為事件Σ。事件Σ是樣本空間Ω的子集。集合F必須是一個(gè)σ-代數(shù)：

；

若，則；

若，則

(Ω,F)合起來稱為可測空間。事件就是樣本輸出的集合，在此集合上可定義其概率。

第三項(xiàng)P稱為概率，或者概率測度。這是一個(gè)從集合F到實(shí)數(shù)域R的函數(shù)，。每個(gè)事件都被此函數(shù)賦予一個(gè)0和1之間的概率值。

概率測度經(jīng)常以黑體表示，例如或，也可用符號"Pr"來表示。

離散模式離散機(jī)率理論僅需要可數(shù)集的樣本空間。 機(jī)率指的是由機(jī)率質(zhì)量函數(shù)求得上的使得的點(diǎn)。全部的子集合可視為隨機(jī)事件（也就是為冪集）。機(jī)率測度可簡寫為

使用σ-代數(shù)能夠完整描述樣本空間。一般來說，σ-代數(shù)相當(dāng)于一個(gè)有限或可數(shù)的集合劃分，事件A的一般型且

是被定義允許的情況但極少使用，因?yàn)槿绱说?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/FZUh0YjZW0CJkV1CBKb7BZG2WfciS6ofKdYY.jpg" alt="" />可以安全的從樣本空間中移除。

一般模式如果Ω不可數(shù)，存在某些ω使得p(ω) ≠ 0 的情況仍然存在，那些ω稱為原子。他們大部分都是可數(shù)的集合（有可能為空集合） ，其可能性為所有原子機(jī)率的和。如果這個(gè)和等于1，那么其他的點(diǎn)可以安全地從樣本空間中移除，回歸離散模式。反之，如果和少與1（有可能為零）那么機(jī)率空間分解成為離散（原子）部分（可能為零），以及非原子部分。

舉例分析若樣本空間是關(guān)于一個(gè)機(jī)會(huì)均等的拋硬幣動(dòng)作，則樣本輸出為“正面”或“反面”。事件為：

{正面}，其概率為0.5。

{反面}，其概率為0.5。

{ }=? 非正非反，其概率為0.

{正面，反面}，不是正面就是反面，這是Ω，其概率為1。

相關(guān)概念隨機(jī)變量隨機(jī)變量是一個(gè)從Ω映射到另一個(gè)集合(通常是實(shí)數(shù)域R)的函數(shù)。 它必須是一個(gè)可測函數(shù)。比如說，若X是一個(gè)實(shí)隨機(jī)變量，則使X為正的樣本輸出的集合{ω∈Ω:X(ω)>0}是一個(gè)事件。1

為簡便起見，{ω∈Ω:X(ω)>0}經(jīng)常只寫作{X>0}。P({X>0})更被簡化為P(X>0)。

獨(dú)立若P(A∩B)=P(A)P(B)，則A和B兩個(gè)事件是獨(dú)立的。1

若任何與隨機(jī)變量X有關(guān)的事件和任何與隨機(jī)變量Y有關(guān)的事件獨(dú)立，則X和Y兩個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的。

獨(dú)立這個(gè)概念是概率論和測度論分道揚(yáng)鑣的地方。

互斥若P(A∩B)=0，則稱A和B兩個(gè)事件互斥或不相交（這個(gè)性質(zhì)要比A∩B=?弱一些，后者是集合不相交的定義）。1

若兩個(gè)事件A和B不相交，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。這個(gè)性質(zhì)可以擴(kuò)展到由（有限個(gè)或者可數(shù)無限個(gè)）事件組成的事件序列。 但不可數(shù)無限個(gè)事件組成的事件集合對應(yīng)的概率與集合元素對應(yīng)概率之和未必相等，例如若Z是正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則對任意x有P(Z=x)=0，但是P(Z是實(shí)數(shù))=1。

事件A∩B的意思是A并且B；事件A∪B的意思是A或者B.