[科普中國(guó)]-博雷爾集

博雷爾代數(shù)

當(dāng)X是一個(gè)度量空間時(shí)，博雷爾代數(shù)可以用如下生成的方法描述。2

對(duì)于X的一族子集T（即X的冪集P(X)的任何子集），令

Tσ為T(mén)中元素的可數(shù)并的全體

Tδ為T(mén)中元素的可數(shù)交的全體

Tδσ=(Tδ)σ.

現(xiàn)在利用超限歸納法定義如下的序列G，其中m是一個(gè)序數(shù)：

對(duì)于初始的情況，定義

G= X的所有開(kāi)子集全體。

如果i不是極限序數(shù)，那么i是i-1的后繼序數(shù)。令

G= [G]δσ

如果i是極限序數(shù)，令

我們現(xiàn)在可以說(shuō)博雷爾代數(shù)是G，其中ω1是第一不可數(shù)序數(shù)，即勢(shì)為??的序數(shù)集。這意味著博雷爾代數(shù)可以通過(guò)開(kāi)集全體的迭代運(yùn)算

至第一不可數(shù)序而生成。

為了證明這一點(diǎn)，首先注意到度量空間中的任何開(kāi)集都是一列遞增緊集的并。特別地，易知對(duì)于任何極限序數(shù)m，集合的差運(yùn)算將G映射到自身；而且，當(dāng)m是不可數(shù)的極限序數(shù)時(shí)，G在可數(shù)并運(yùn)算下是封閉的。

注意到對(duì)于每一個(gè)博雷爾集B，存在一個(gè)可數(shù)序數(shù)αB使得B可以通過(guò)αB多次迭代后得到。但是隨著B(niǎo)取遍所有博雷爾集，αB也會(huì)相應(yīng)地取遍所有可數(shù)序數(shù)，故而要得到所有博雷爾集所需的最靠前的序數(shù)是ω1，即第一不可數(shù)序數(shù)。

例子一個(gè)重要的例子，尤其是對(duì)于概率論而言，是實(shí)數(shù)集上的博雷爾代數(shù)。它是用來(lái)定義博雷爾測(cè)度的代數(shù)。對(duì)于概率空間上一個(gè)給定的實(shí)隨機(jī)變量，其概率分布按照定義，也是一個(gè)博雷爾代數(shù)上的測(cè)度。

實(shí)直線R上的博雷爾代數(shù)是包含所有區(qū)間的最小σ-代數(shù)。

在利用超限歸納法構(gòu)造時(shí)，可以證明在每一步中，集合的數(shù)量至多是連續(xù)統(tǒng)的冪。所有博雷爾集的總數(shù)不會(huì)多于。

非博雷爾集下面描述了盧津給出的一個(gè)實(shí)數(shù)集上的子集不是博雷爾集的例子。與之形成對(duì)比的是，不可測(cè)集的例子是無(wú)法給出的，不過(guò)其存在性是可以證明的。

每一個(gè)無(wú)理數(shù)都有一個(gè)唯一的連分?jǐn)?shù)表示

其中是一個(gè)整數(shù)，其余的都是正整數(shù)。令A(yù)為對(duì)應(yīng)序列的無(wú)理數(shù)組成的集合，而且其中的元素滿足下列性質(zhì)：存在一個(gè)無(wú)限子序列使得序列中每一個(gè)元素都是下一個(gè)元素的因子。這個(gè)集合A不是博雷爾集。事實(shí)上，這個(gè)集合是一個(gè)解析集，進(jìn)一步地，在解析集全體構(gòu)成的類(lèi)中是完備的。