[科普中國]-正規(guī)族

簡介

正規(guī)族是指具有某種收斂性質(zhì)的函數(shù)族。定義如下：在一個(gè)區(qū)域D的一個(gè)全純函數(shù)族F稱為在D內(nèi)為正規(guī)，如果從F的每一個(gè)函數(shù)序列fn(z)(n=1，2，…)都可以選出一個(gè)子序列fnk(z)(k=1，2，…)，使得它在D的內(nèi)部一致收斂到一個(gè)全純函數(shù)或一致發(fā)散到∞。1

詳細(xì)介紹關(guān)于復(fù)平面上的點(diǎn)集有以下簡單事實(shí):如果E是復(fù)平面上的一個(gè)有界點(diǎn)集（即E中的點(diǎn)均位于某一個(gè)圓|z|R內(nèi)），那么從E中每一個(gè)點(diǎn)序列zn(n=1,2,…)都可以選出一個(gè)子序列z(k=1,2，…)收斂到一個(gè)極限點(diǎn)。蒙泰爾首先將這個(gè)事實(shí)推廣到在一個(gè)區(qū)域內(nèi)一致有界的全純函數(shù)族：如果F是在一個(gè)區(qū)域D內(nèi)的一個(gè)一致有界全純函數(shù)族（即存在一個(gè)正數(shù)M使對(duì)于F中每一個(gè)函數(shù)?(z),不等式|?(z)|≤M在D內(nèi)成立），那么從F中每一個(gè)函數(shù)序列?n(z)(n=1,2,…)都可以選出一個(gè)子序列?(z)(k=1,2,…)在D的內(nèi)部一致收斂到一個(gè)全純函數(shù)。這里,族的意思就是集合；在D的內(nèi)部一致收斂的意思是“在每一個(gè)連同邊界都屬于D的有界區(qū)域內(nèi)”都一致收斂。蒙泰爾的以上定理在他的正規(guī)族理論中起著基本的作用，并在保角映射理論中有重要應(yīng)用。
蒙泰爾注意到，以上定理中條件|?(z)|≤M表示函數(shù)?（z）在區(qū)域D內(nèi)不取圓|w|=M外之值,然后他考慮全純函數(shù)族F中的函數(shù)?（z）在區(qū)域D內(nèi)均不取一個(gè)圓|w-α|F的每一個(gè)函數(shù)序列?n(z)(n=1,2，…)中,都可選出一個(gè)子序列?(z)(k=1，2,…)在D的內(nèi)部一致收斂到一個(gè)全純函數(shù)或一致收斂到常量∞。由此他提出了全純函數(shù)正規(guī)族的定義：
如果從全純函數(shù)族F的每一個(gè)函數(shù)序列?n(z)(n=1,2,…)中，都可以選出一個(gè)子序列?(z)(k=1,2,…)在D的內(nèi)部一致收斂到一個(gè)全純函數(shù)或一致收斂到常量∞，則區(qū)域D內(nèi)的全純函數(shù)族F稱為在D內(nèi)為正規(guī)的。
因此，一個(gè)全純函數(shù)族F在一個(gè)區(qū)域D內(nèi)為正規(guī)的一個(gè)充分條件是F中的函數(shù)在D內(nèi)均不取同一個(gè)圓C外之值，另一個(gè)充分條件是不取C內(nèi)之值。凡是這樣的充分條件都稱為正規(guī)性定則。經(jīng)過進(jìn)一步的研究，蒙泰爾證明了：F中的函數(shù)在D內(nèi)均不取兩個(gè)固定的有窮值α及b，是一個(gè)正規(guī)性定則。這個(gè)定則可使復(fù)變函數(shù)論中過去看來是松散的幾個(gè)定理呈現(xiàn)緊密的聯(lián)系，如從這個(gè)定則很容易推出皮卡第一定理：一個(gè)非常數(shù)的整函數(shù)?（z）取每一個(gè)有窮值，最多除去一個(gè)例外值。證明方法是引進(jìn)函數(shù)序列，如果以上皮卡定理不成立，則根據(jù)蒙泰爾的正規(guī)性定則，這個(gè)函數(shù)序列構(gòu)成在圓|z|?(z)在一區(qū)域0z|ρ為全純并以z=0為本性奇點(diǎn),則在此區(qū)域內(nèi)函數(shù)?(z)取每一有窮值無窮次,最多除去一個(gè)例外值。根據(jù)蒙泰爾的正規(guī)性定則還可以證明下列朔特基定理:如果一函數(shù)?(z)在一圓|z|R內(nèi)為全純并且不取值0和1,則在每一圓|z|θR(0θ?(z)的模小于一個(gè)只依賴于?(0)及θ的正數(shù)。由此定理，利用柯西不等式，又可推出蘭道定理：如果一函數(shù)?(z)滿足朔特基定理中條件并且?′(0)≠0，則R不超過一個(gè)只依賴于?(0)及?′(0)的上限。
蒙泰爾引進(jìn)正規(guī)族的概念之后，又進(jìn)一步引進(jìn)了擬正規(guī)族的概念。全純函數(shù)擬正規(guī)族的定義和全純函數(shù)正規(guī)族的定義的差別是:不要求子序列?(z)(k=1,2,…)在D的內(nèi)部一致收斂，而只要求除去D內(nèi)有窮個(gè)點(diǎn)（或無窮個(gè)點(diǎn)，但在D內(nèi)沒有凝聚點(diǎn)）后,在所余的區(qū)域內(nèi)部一致收斂，然后他將G.維塔列的一個(gè)定理推廣為：如果在一個(gè)區(qū)域D的一個(gè)全純函數(shù)序列屬于一個(gè)正規(guī)族或擬正規(guī)族，并且在D內(nèi)無窮個(gè)點(diǎn)收斂到有窮極限,而這無窮個(gè)點(diǎn)在D內(nèi)最少有一個(gè)凝聚點(diǎn)，則此全純函數(shù)序列在D的內(nèi)部一致收斂。
經(jīng)過C.卡拉西奧多里、E.G.H.蘭道、蒙泰爾及A.奧斯特羅夫斯基的工作，亞純函數(shù)正規(guī)族的理論也建立起來。如果一致收斂性是用球面距離來定義，那么亞純函數(shù)正規(guī)族的定義如下:如果從亞純函數(shù)族F的每一個(gè)函數(shù)序列?n(z)(n=1,2,…)中,都可以選出一個(gè)子序列?(z)(k=1,2,…)在一個(gè)區(qū)域D的內(nèi)部一致收斂，則D內(nèi)的亞純函數(shù)族F稱為在D內(nèi)為正規(guī)的。關(guān)于亞純函數(shù)族蒙泰爾的正規(guī)性定則是：F中的函數(shù)在D內(nèi)均不取三固定的值α，b及с（有窮或無窮）。類似地也可以給出亞純函數(shù)擬正規(guī)族的定義。
全純函數(shù)正規(guī)族及亞純函數(shù)正規(guī)族的理論已經(jīng)發(fā)展到完善的地步。這個(gè)理論中的一個(gè)重要研究問題是尋求新的正規(guī)性定則。關(guān)于這個(gè)問題已有許多工作，在這方面,A.布洛赫的下列猜測(cè)很有指導(dǎo)意義：如果p是一個(gè)性質(zhì)，非常數(shù)的整函數(shù)不具有性質(zhì)p,那么在一個(gè)區(qū)域內(nèi)具有性質(zhì)p的全純函數(shù)族是正規(guī)的。這個(gè)猜測(cè)在一些例子中都是對(duì)的。例如，與關(guān)于整函數(shù)的劉維爾定理相應(yīng)的是以上蒙泰爾的關(guān)于一致有界的全純函數(shù)族的定理；與關(guān)于整函數(shù)的皮卡定理相應(yīng)的是以上蒙泰爾的關(guān)于有兩個(gè)例外值的全純函數(shù)族的定則。此外，布洛赫還根據(jù)他的下列定理：如果函數(shù)?(z)于|z|?(0)=0并且?′(0)=1，則存在一個(gè)半徑大于一絕對(duì)常數(shù)的圓，在其中函數(shù)?(z)的反函數(shù)有一分支為全純；推出了一個(gè)新的正規(guī)性定則：在一個(gè)區(qū)域D的全純函數(shù)族F,如果F中的函數(shù)的反函數(shù)的全純圓域的半徑小于一個(gè)固定的常數(shù)，那么F在D為正規(guī)。

亞純函數(shù)除極點(diǎn)外為全純的函數(shù)為亞純函數(shù)，它是復(fù)變函數(shù)論研究的主要對(duì)象之一。

德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯、瑞典數(shù)學(xué)家米塔-列夫勒、法國數(shù)學(xué)家柯西等都是亞純函數(shù)理論的奠基人。1876年，外爾斯特拉斯證明了一個(gè)亞純函數(shù)可以表示為兩個(gè)整函數(shù)的商。第二年，瑞典數(shù)學(xué)家米塔-列夫勒推廣了外爾斯特拉斯的結(jié)果，證明在任意一個(gè)區(qū)域上的亞純函數(shù)皆可表示為兩個(gè)函數(shù)的商，其中每一個(gè)都在該區(qū)域內(nèi)解析。法國數(shù)學(xué)家柯西也曾給出一種分解方法，對(duì)相當(dāng)廣的一類亞純函數(shù)得到簡單的表示式。

近代亞純函數(shù)理論是20世紀(jì)20年代由芬蘭數(shù)學(xué)家奈望林納所創(chuàng)立。他在1925年發(fā)表了亞純函數(shù)的一個(gè)一般性理論，這個(gè)理論中有兩個(gè)基本定理分別被稱為第一基本定理和第二基本定理，從它們可以推出一系列關(guān)于亞純函數(shù)的值分布的結(jié)果，豐富并推進(jìn)了前人的工作，產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。

亞純函數(shù)的術(shù)語是由法國數(shù)學(xué)家布里奧和布凱共同引進(jìn)的。2

收斂性數(shù)學(xué)分析的基本概念之一。它與“有確定的(或有限的)極限”同義，“收斂于……”相當(dāng)于說“極限是……(確定的點(diǎn)或有限的數(shù))”。例如“當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{1/n}有極限，極限(值)為0”與“當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列{1/n}收斂于0”完全一樣.但“1/x當(dāng)x→0的極限為∞”不能說成“1/x當(dāng)x→0時(shí)收斂于∞”(因∞不是有限數(shù))。在一些一般性敘述中，收斂和收斂性這兩個(gè)詞(在外語中通常是同一個(gè)詞)有時(shí)泛指函數(shù)或數(shù)列是否有極限的性質(zhì)，或者按哪一種意義(什么極限過程)有極限.在這個(gè)意義下，數(shù)學(xué)分析中所討論的收斂性的不同意義(不同類型的極限過程)大致有：對(duì)數(shù)列(點(diǎn)列)只討論當(dāng)其項(xiàng)序號(hào)趨于無窮的收斂性；對(duì)一元和多元函數(shù)最基本的有自變量趨于定值(定點(diǎn))的和自變量趨于無窮的這兩類收斂性，此外，對(duì)多元函數(shù)還有沿特殊路徑的和累次極限意義下的收斂性;對(duì)函數(shù)列(級(jí)數(shù))有逐點(diǎn)收斂和一致收斂。不收斂稱為發(fā)散。3