[科普中國]-高斯映射

定義

在微分幾何里，高斯映射是從歐氏空間R3中的一個曲面到單位球面S2的一個映射。高斯映射是以卡爾·弗里德里?！じ咚姑?/p>

給出R中的曲面X，高斯映射是一個連續(xù)映射N:X→S，使得N(p)是在點p上正交于X的單位向量，就是曲面X在點p處的法向量。

高斯映射可以在曲面的整體上定義，當(dāng)且僅當(dāng)曲面是可定向的，此時其映射度等于歐拉示性數(shù)的一半。無論何時高斯映射都可以在曲面的局部上（即曲面的一小塊上）定義。高斯映射的雅可比行列式等于高斯曲率，而高斯映射的微分稱為形狀算子。

高斯以此為題在1825年寫了一份初稿，并在1827年發(fā)表。1

全曲率高斯映射的像的面積稱為全曲率，等于高斯曲率的曲面積分。這是起初高斯所給出的詮釋。高斯-博內(nèi)定理將曲面的全曲率和曲面的拓?fù)湫再|(zhì)聯(lián)系起來：

推廣高斯映射可以定義在Rn中的超曲面上，從超曲面映射到Rn中的單位球面Sn-1。