[科普中國]-能量原理

概念介紹

分析結(jié)構(gòu)在荷載、溫差等外因影響下所產(chǎn)生的應(yīng)力、變形和位移狀態(tài)的基本原理之一。能量是指結(jié)構(gòu)作功的能力。彈性結(jié)構(gòu)在加載時產(chǎn)生變形，在卸載后又能恢復(fù)原狀，說明若不計動能和熱能的變化，荷載在結(jié)構(gòu)上所作之功，將全部轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)的變形勢能存儲于結(jié)構(gòu)之內(nèi)，因而在卸載過程中具有恢復(fù)原狀的能力，這是能量原理的依據(jù)。能量原理根據(jù)荷載作功過程中變形勢能的變化規(guī)律,建立起一系列極值條件，作為解題的綜合判據(jù),從而避免直接解算大量偏微分方程，以簡化解題手續(xù)。1

能量物質(zhì)運動的一般量度，可解釋為物質(zhì)做功的能力，簡稱能。能的基本形式有機(jī)械能(動能與勢能的總稱)、熱能、化學(xué)能、電能、核能、光能等。它們分別是機(jī)械運動、分子熱運動、化學(xué)反應(yīng)、電磁作用、原子核與基本粒子運動所具有的能量。能量的單位與功的單位相同，工程中常用單位有千焦耳(kJ)、千瓦·小時(kW·h)等。

能量可以在物質(zhì)之間傳遞，這種傳遞過程就是做功或傳遞熱量的過程。在傳遞過程中，若物質(zhì)運動方式發(fā)生變化，能量形式也同時發(fā)生轉(zhuǎn)換。例如，物體向上運動時，因克服重力而減慢速度，損失的動能轉(zhuǎn)換為勢能;當(dāng)物體返回地面時，速度加快，勢能又轉(zhuǎn)換成動能;河水沖擊水輪發(fā)電機(jī)組做功的過程，就是將河水的勢能和動能傳遞給水輪發(fā)電機(jī)組并轉(zhuǎn)換為電能的過程;熱力發(fā)電，則是將燃料的化學(xué)能借助熱力發(fā)電裝置先后轉(zhuǎn)換為熱能和機(jī)械能，并最終將機(jī)械能轉(zhuǎn)換為電能的過程。

電能和磁能總是緊密聯(lián)系的。運動的電荷產(chǎn)生磁場，變化的磁場產(chǎn)生電場，因而可以使機(jī)械能和電能相互轉(zhuǎn)換。電能是現(xiàn)代最常用的一種能量。它的傳輸、轉(zhuǎn)換和利用最為方便、效率很高。因此，電能已成為發(fā)展國民經(jīng)濟(jì)、改善人民生活、促進(jìn)社會進(jìn)步不可缺少的能源。

能量的傳遞還能以粒子相互作用或以輻射的方式在空間傳播(如電磁波的傳播)，光是電磁輻射最常見的一種。無線電波、紅外線、X射線等都是能的輻射傳播。

應(yīng)用用能量法分析結(jié)構(gòu),主要是尋求既滿足邊界條件,又同時滿足勢能為最小的位移函數(shù)或者余能為最小的2。對許多難于求得精確解的工程問題，可用下述各個能量原理以求問題的近似解答。因此，在分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)的靜力和動力問題中，能量原理得到廣泛應(yīng)用。

研究內(nèi)容能量原理可從虛位移原理、虛力原理兩個側(cè)面研究。又根據(jù)勢能和余能的變化情況,建立相應(yīng)的極值條件,以解答具體問題，形成最小勢能原理和最小余能原理。

虛位移原理也稱勢能原理、虛功原理。設(shè)結(jié)構(gòu)在荷載作用下處于平衡狀態(tài)。假定由于任何其他原因，使結(jié)構(gòu)從其平衡位置偏離一個任意微小的、為邊界約束條件所允許的虛位移（可以看作是真實位移的一個變分），荷載在虛位移上所作的虛功，將等于其內(nèi)部應(yīng)力在相應(yīng)應(yīng)變上所積累的虛變形勢能。故虛位移原理可表述為：彈性結(jié)構(gòu)平衡的必要與充分條件是，對于任意微小的虛位移,荷載所作的總虛功δW等于其內(nèi)部所積累的虛變形勢能δU。即δU-δW=0。

最小勢能原理設(shè)結(jié)構(gòu)在P力系作用下處于平衡。在某一可能虛位移過程中,與Pi力相應(yīng)的虛位移設(shè)為墹i,則由可能虛位移引起的荷載勢能變化為,將使結(jié)構(gòu)增加變形。設(shè)由此引起的變形勢能的改變?yōu)棣腢,則結(jié)構(gòu)的總勢能改變δП可定義為內(nèi)外兩種勢能變化之差，即但是,在這個虛位移中，荷載始終保持不變，因而П只是可能虛位移的函數(shù)。故此式可改寫成泛函 П=U-W代表結(jié)構(gòu)在虛位移中的總勢能。當(dāng)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時,已知U=W,從而有δП=0,它說明：在一切滿足邊界條件的虛位移中，同時滿足平衡條件的虛位移對應(yīng)于結(jié)構(gòu)勢能的一個駐值，這就是結(jié)構(gòu)勢能駐值原理。對于線彈性結(jié)構(gòu)，勢能的二階變分恒為正，因而使總勢能取最小值，所以這個原理又稱最小勢能原理。它意味著在所有滿足邊界條件的虛位移中，能使結(jié)構(gòu)勢能為最小的虛位移，滿足平衡條件，因而就是真實的位移。在這種情況下，結(jié)構(gòu)勢能的駐值條件等價于平衡條件。3

虛力原理也稱余能原理。設(shè)結(jié)構(gòu)在荷載和支承位移影響下處于平衡狀態(tài)。在位移保持不變的情況下，若讓真實應(yīng)力σ發(fā)生微小改變δσ,且使它們滿足平衡條件和應(yīng)力邊界條件（稱為可能虛應(yīng)力），則虛力原理可表述為：對一切可能虛應(yīng)力δσ而言，結(jié)構(gòu)滿足變形協(xié)調(diào)方程的必要和充分條件是，對于任意微小的可能虛應(yīng)力，其變形余能的一階變分δU*,等于位移邊界上的相應(yīng)邊界反力所作荷載余功的一階變分δW*。

最小余能原理結(jié)構(gòu)的余能變分可定義為 式中Ri、Ci分別為支承反力和相應(yīng)的支承位移。在可能應(yīng)力的變化過程中，應(yīng)變和位移均保持不變，因而此式可改寫為泛函代表結(jié)構(gòu)的總余能，由余能原理，有δП*=0 。它說明：在所有滿足平衡條件及邊界條件的應(yīng)力場中，同時滿足相容應(yīng)變場的應(yīng)力場，對應(yīng)于余能的一個駐值，這就是余能駐值原理。對于線彈性結(jié)構(gòu)，因有,已知勢能U的二階變分恒為正,故П*將取最小值，因而最小余能原理可表述為：在一切滿足平衡方程及邊界條件的應(yīng)力場中，真實的應(yīng)力場應(yīng)能使泛函П*成為最小。因而，余能的駐值條件等價于變形協(xié)調(diào)條件。4