[科普中國(guó)]-孤立奇點(diǎn)

定義

若 在 不解析，但在 的某一去心鄰域 內(nèi)解析，則稱 是 的孤立奇點(diǎn)。

奇點(diǎn)分為孤立奇點(diǎn)和非孤立奇點(diǎn)。

設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，在的去心鄰域內(nèi)，的洛朗級(jí)數(shù)為：

根據(jù)展開式的不同情況將孤立奇點(diǎn)分為：

（1）可去奇點(diǎn)

（2）(m級(jí))極點(diǎn)

（3）本性奇點(diǎn)1

可去奇點(diǎn)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，在的去心鄰域內(nèi)，的洛朗級(jí)數(shù)為：

若無(wú)負(fù)冪項(xiàng)，，則為的可去奇點(diǎn)。

例如，函數(shù)在處不解析，它的洛朗展開式為：

展開式中并不含負(fù)冪項(xiàng)，那么 稱為可去奇點(diǎn)。1

極點(diǎn)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，在的去心鄰域內(nèi)，的洛朗級(jí)數(shù)為：

若的負(fù)冪項(xiàng)只有m項(xiàng)，即

，其中，

由于在的去心鄰域內(nèi)解析，故，則為的(m極)極點(diǎn)

例如， ， 是它的一個(gè)3級(jí)極點(diǎn)。1

本性奇點(diǎn)設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，在的去心鄰域內(nèi)，的洛朗級(jí)數(shù)為：

若的負(fù)冪項(xiàng)有無(wú)窮多項(xiàng)，不存在，也不是，則稱為的本性奇點(diǎn)。

例如，函數(shù)， 是的本性奇點(diǎn)。1

分類判別規(guī)則設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，根據(jù) 時(shí)的極限分類：1

（1）可去奇點(diǎn) 存在且有界

（2）極點(diǎn)

（3）本性奇點(diǎn)不存在，且不為

無(wú)窮遠(yuǎn)處設(shè)函數(shù) 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 的去心鄰域 內(nèi)解析，其洛朗級(jí)數(shù)為：，令 ，則在 的去心鄰域 內(nèi)解析，的洛朗級(jí)數(shù)為，則如下圖1