[科普中國(guó)]-拉普拉斯展開(kāi)

定義

在數(shù)學(xué)中，拉普拉斯展開(kāi)（或稱拉普拉斯公式）是一個(gè)關(guān)于行列式的展開(kāi)式。將一個(gè) 矩陣B的行列式進(jìn)行拉普拉斯展開(kāi)，即是將其表示成關(guān)于矩陣B的某一行（或某一列）的 n個(gè)元素的 余子式的和。行列式的拉普拉斯展開(kāi)一般被簡(jiǎn)稱為行列式按某一行（或按某一列）的展開(kāi)。由于矩陣B有 n行 n列，它的拉普拉斯展開(kāi)一共有 2n種。拉普拉斯展開(kāi)的推廣稱為拉普拉斯定理，是將一行的元素推廣為關(guān)于k行的一切子式。它們的每一項(xiàng)和對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展開(kāi)可以減少對(duì)于矩陣B之行列式的計(jì)算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推導(dǎo)中。1

公式設(shè)B= (bij)是一個(gè)n×n矩陣。B關(guān)于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n?1階子矩陣的行列式。有時(shí)可以簡(jiǎn)稱為B的 余子式。B的代數(shù)余子式：Cij是指B的 余子式Mij與(?1)的乘積：1

Cij= (?1)Mij

拉普拉斯展開(kāi)最初由范德蒙德給出，為如下公式：對(duì)于任意i,j∈ {1, 2, ...,n}：

考慮以下的矩陣：

這個(gè)矩陣的行列式可以用沿著第一行的拉普拉斯展開(kāi)式來(lái)計(jì)算：

也可以用沿著第二列的拉普拉斯展開(kāi)式來(lái)計(jì)算：

很容易看到這個(gè)結(jié)果是正確的：這個(gè)矩陣是奇異的，因?yàn)樗牡谝涣泻偷谌械暮团c第二列成比例，因此它的行列式是零。

證明設(shè)B是一個(gè) 的矩陣， 。為了明確起見(jiàn)，將 的系數(shù)記為 ，其中 。2

考慮B的行列式|B|中的每個(gè)含有 的項(xiàng)，它的形式為：

其中的置換τ ∈Sn使得τ(i) =j，而σ ∈Sn-1是唯一的將除了i以外的其他元素都映射到與τ相同的像上去的置換。顯然，每個(gè)τ都對(duì)應(yīng)著唯一的σ，每一個(gè)σ也對(duì)應(yīng)著唯一的τ。因此我們創(chuàng)建了Sn?1與{τ∈Sn:τ(i)=j}之間的一個(gè)雙射。置換τ可以經(jīng)過(guò)如下方式從σ得到：

定義σ' ∈Sn使得對(duì)于1 ≤k≤n?1，σ'(k) = σ(k)并且σ'(n) =n，于是sgnσ' = sgn σ。然后

由于兩個(gè)輪換分別可以被寫成 和 個(gè)對(duì)換，因此

因此映射σ ? τ是雙射。由此：

從而拉普拉斯展開(kāi)成立。

相關(guān)定理拉普拉斯定理

拉普拉斯在1772年的論文中給出了行列式展開(kāi)的一般形式，現(xiàn)在稱為拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基礎(chǔ)上，說(shuō)明了如果將B關(guān)于某k行的每一個(gè)子式和對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積加起來(lái)，那么得到的仍然是B的行列式。定理的證明與按一行（一列）展開(kāi)的情況一樣，都是通過(guò)建立置換間的雙射來(lái)證明兩者相等。1