[科普中國]-公理化方法

簡介

恩格斯曾說過：數(shù)學(xué)上的所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定。

公理化方法能系統(tǒng)的總結(jié)數(shù)學(xué)知識、清楚地揭示數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，有利于比較各個(gè)數(shù)學(xué)分支的本質(zhì)異同，促進(jìn)新數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展。

現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的基本特點(diǎn)之一，就是科學(xué)理論的數(shù)學(xué)化，而公理化是科學(xué)理論成熟和數(shù)學(xué)化的一個(gè)主要特征。

公理化方法不僅在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯中廣泛應(yīng)用，而且已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出數(shù)學(xué)的范圍，滲透到其它自然科學(xué)領(lǐng)域甚至某些社會科學(xué)部門，并在其中起著重要作用。1

歷史發(fā)展產(chǎn)生公理化方法發(fā)展的第一階段是由亞里士多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問世．大約在公元前3世紀(jì)，希臘哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德總結(jié)了幾何學(xué)與邏輯學(xué)的豐富資料，系統(tǒng)地研究了三段論，以數(shù)學(xué)及其它演繹的學(xué)科為例，把完全三段論作為公理，由此推導(dǎo)出其它所有三段論法，從而使整個(gè)三段論體系成為一個(gè)公理系統(tǒng)．因此，亞里斯多德在歷史上提出了第一個(gè)成文的公理系統(tǒng)。

亞里斯多德的思想方法深深地影響了當(dāng)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得。歐幾里得把形式邏輯的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完成了數(shù)學(xué)史上的重要著作《幾何原本》。他從古代的量地術(shù)和關(guān)于幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理。他總結(jié)概括出10個(gè)基本命題，其中有5個(gè)公設(shè)和5條公理，然后由此出發(fā)，運(yùn)用演繹方法將當(dāng)時(shí)所知的全部幾何學(xué)知識推演出來，整理成為演繹體系?！稁缀卧尽芬粫褋喞锼苟嗟鲁醪娇偨Y(jié)出來的公理化方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)，整理、總結(jié)和發(fā)展了希臘古典時(shí)期的大量數(shù)學(xué)知識，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹立了一座不朽的豐碑。

公理學(xué)研究的對象、性質(zhì)和關(guān)系稱為“論域”，這些對象、性質(zhì)和關(guān)系，由初始概念表示。例如歐氏《幾何原本》中只需取“點(diǎn)”、“直線”、“平面”；“在……之上”、“在……之間”、“疊合”作為初始概念。前三個(gè)概念所表示的三類對象和后三個(gè)概念所表示的三種關(guān)系就是這種幾何的論域。按照“一個(gè)公理系統(tǒng)只有一個(gè)論域”的觀點(diǎn)建立起來的公理學(xué)，稱為實(shí)質(zhì)公理學(xué)。這種公理學(xué)是對經(jīng)驗(yàn)知識的系統(tǒng)整理，公理一般具有自明性。因此，歐氏《幾何原本》就是實(shí)質(zhì)公理學(xué)的典范。1

發(fā)展公理化方法的發(fā)展大致經(jīng)歷了這樣三個(gè)階段：實(shí)質(zhì)（或?qū)嶓w）公理化階段、形式公理化階段和純形式公理化階段，用它們建構(gòu)起來的理論體系典范分別是《幾何原本》、《幾何基礎(chǔ)》和ZFC公理系統(tǒng)。

《幾何原本》雖然開創(chuàng)了數(shù)學(xué)公理化方法的先河，然而它的公理系統(tǒng)還有許多不夠完善的地方，其主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)有些定義是多余的；(3)有些定理的證明過程往往依賴于圖形的直觀；(4)有的公理(即平行公理)是否可用其它公理來證明或代替．這些問題成為后來許多數(shù)學(xué)家研究的課題，并通過這些問題的研究，使公理化方法不斷完善，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。

第五公設(shè)(即平行公設(shè))內(nèi)容復(fù)雜，陳述累贅，缺乏象其它公設(shè)和公理那樣的說服力，并不自明。因此，它能否正確地反映空間形式的性質(zhì)，引起了古代學(xué)者們的懷疑。從古希臘時(shí)代到公元18世紀(jì)，人們通過不同的途徑和方法對這一問題進(jìn)行了大量的研究工作，其中薩克里( Saccheri，1667—1733)和蘭勃特( Lambert，1728-1777)等人考慮了兩個(gè)可能的與平行公設(shè)相反的假設(shè)，試圖證明出平行公設(shè)，但是他們的努力均歸于失?。欢谶@些失敗中卻引出了一串與第五公設(shè)相等價(jià)的新命題和定理，即非歐幾何的公理和定理，它預(yù)示了一種新的幾何體系可能產(chǎn)生。

19世紀(jì)年輕的俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基(Лобачевский1792-1856)產(chǎn)生了與前人完全不同的信念：首先，他認(rèn)為第五公設(shè)不能以其余的公理作為定理來證明；其次，除掉第五公設(shè)成立的歐氏幾何之外，還可能有第五公設(shè)不成立的新幾何系統(tǒng)存在。于是，他在剔除第五公設(shè)而保留歐氏幾何其余公理的前提下，引進(jìn)與第五公設(shè)相反的公理，從而構(gòu)造了一個(gè)全新的幾何系統(tǒng)，它與歐氏幾何系統(tǒng)相并列。后來人們又證明了這兩個(gè)部分地相矛盾的幾何系統(tǒng)竟是相對相容的，即假定其中之一無矛盾，則另一個(gè)必定無矛盾，這樣以來，只要這兩個(gè)系統(tǒng)是無矛盾的，第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理就必定獨(dú)立無關(guān)?，F(xiàn)在人們就用羅巴切夫斯基的名字命名了這一新的幾何學(xué)，并把一切不同于歐氏幾何公理系統(tǒng)的幾何系統(tǒng)統(tǒng)稱為非歐幾何。

非歐幾何的建立在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義，標(biāo)志著人們對空間形式的認(rèn)識發(fā)生了飛躍，從直觀空間上升到抽象空間。在建立非歐幾何的過程中，公理化方法得到了進(jìn)一步的發(fā)展和完善。1

形式化德國數(shù)學(xué)家帕斯(Moritz Pasch，1843-1930)通過對射影幾何公理化基礎(chǔ)的純邏輯的探討，第一次從理論上提出了形式公理學(xué)的思想。他認(rèn)為，幾何學(xué)如果要成為一門真正的演繹科學(xué)，最根本的是推導(dǎo)的進(jìn)行必須完全獨(dú)立于幾何概念的涵義，同樣地也必須不以圖形為依據(jù)，而所考慮的只能是被命題或定義所確定的幾何概念之間的關(guān)系。就是說，一個(gè)公理系統(tǒng)必然要有本系統(tǒng)里不定義的概念，通過這些概念就可以給其它概念下定義，而不定義概念的全部特征必須由公理表達(dá)出來。公理可以說是不定義概念的隱定義。有些公理雖然是由經(jīng)驗(yàn)提出來的，但當(dāng)選出一組公理之后，必須不再涉及經(jīng)驗(yàn)及物理意義。公理決不是自明的真理，而是用以產(chǎn)生任一特殊幾何的假定。帕斯的這些思想已經(jīng)表達(dá)了形式公理系統(tǒng)的特征。

隨著數(shù)學(xué)的深入研究和射影幾何公理系統(tǒng)的建立，形式公理學(xué)的概念已經(jīng)成熟。1899年希爾伯特《幾何學(xué)基礎(chǔ)》一書的發(fā)表，不僅給出了歐氏幾何的一個(gè)形式公理系統(tǒng)，而且解決了公理化方法的一系列邏輯理論問題。這本著作成為形式公理學(xué)的奠基著作。

希爾伯特幾何公理系統(tǒng)，除了有幾何模型外，還可以有其它模型(如算術(shù)模型)，所以它是一個(gè)形式公理系統(tǒng)，可以把其初始概念和公理看成是沒有數(shù)學(xué)內(nèi)容的，數(shù)學(xué)內(nèi)容是通過解釋賦予它們的，初始概念和公理完全可以用形式語言來陳述。因此，自從《幾何學(xué)基礎(chǔ)》問世以后，不僅公理化方法進(jìn)入了數(shù)學(xué)的其它各個(gè)分支，而且也把公理化方法本身推向了形式化的階段。1

作用意義分析、總結(jié)數(shù)學(xué)知識當(dāng)一門科學(xué)積累了相當(dāng)豐富的經(jīng)驗(yàn)知識，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統(tǒng)化，上升到理性認(rèn)識的時(shí)候，公理化方法便是一種有效的手段。如近代數(shù)學(xué)中的群論，便經(jīng)歷了一個(gè)公理化的過程。當(dāng)人們分別研究了許多具體的群結(jié)構(gòu)以后，發(fā)現(xiàn)了它們具有基本的共同屬性，就用一個(gè)滿足一定條件的公理集合來定義群，形成一個(gè)群的公理系統(tǒng)，并在這個(gè)系統(tǒng)上展開群的理論，推導(dǎo)出一系列定理。2

數(shù)學(xué)研究的基本方法不但對建立科學(xué)理論體系，訓(xùn)練人的邏輯推理能力，系統(tǒng)地傳授科學(xué)知識，以及推廣科學(xué)理論的應(yīng)用等方面起到有益的作用，而且對于進(jìn)一步發(fā)展科學(xué)理論也有獨(dú)特的作用。例如在代數(shù)方面，由于公理化方法的應(yīng)用，在群論、域論、理想論等理論部門形成了一系列新的概念，建立了一系列新的聯(lián)系并導(dǎo)致了一系列深遠(yuǎn)的結(jié)果；在幾何方面，由于對平行公設(shè)的研究導(dǎo)致了非歐幾何的創(chuàng)立。因此，公理化方法也是在理論上探索事物發(fā)展規(guī)律，作出新的發(fā)現(xiàn)和預(yù)見的一種重要方法。2

科學(xué)研究的對象介乎于邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)之間的邊緣學(xué)科—— 數(shù)理邏輯，用數(shù)學(xué)方法研究思維過程中的邏輯規(guī)律，也系統(tǒng)地研究數(shù)學(xué)中的邏輯方法。因此，數(shù)學(xué)中的公理方法是數(shù)理邏輯所研究的一個(gè)重要內(nèi)容。由于數(shù)理邏輯是用數(shù)學(xué)方法研究推理過程的，它對公理化方法進(jìn)行研究，一方面使公理化方法向著更加形式化和精確化的方向發(fā)展，一方面把人的某些思維形式，特別是邏輯推理形式加以公理化，符號化。這種研究使數(shù)學(xué)工作者增進(jìn)了使用邏輯方法的自覺性。2

示范作用任何一門科學(xué)都不僅僅是搜集資料，也決不是一大堆事實(shí)及材料的簡單積累，而都是有其自身的出發(fā)點(diǎn)和符合一定規(guī)則的邏輯體系。公理化方法對現(xiàn)代理論力學(xué)及各門自然科學(xué)理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用。例如牛頓在他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》巨著中，系統(tǒng)地運(yùn)用公理化方法表述了經(jīng)典力學(xué)理論體系；本世紀(jì)40年代波蘭的巴拿赫完成了理論力學(xué)的公理化；愛因斯坦運(yùn)用公理化方法創(chuàng)立了相對論理論體系。狹義相對論的出發(fā)點(diǎn)是兩個(gè)基本假設(shè)：相對性原理和光速不變原理。愛因斯坦以此為前提，邏輯地演繹出四個(gè)推論：“尺縮效應(yīng)”、“鐘慢效應(yīng)”、“質(zhì)量增大效應(yīng)”和“關(guān)系式”．這些就是愛因斯坦運(yùn)用公理化方法，創(chuàng)立的狹義相對論完整理論體系的精髓。2

基本要求公理是對諸基本概念相互關(guān)系的規(guī)定，這些規(guī)定必須是必要的而且是合理的。因此，一個(gè)嚴(yán)格完善的公理系統(tǒng)，對于公理的選取和設(shè)置，必須具備如下三個(gè)基本要求：

相容性

這一要求是指在一個(gè)公理系統(tǒng)中，不允許同時(shí)能證明某一定理及其否定理。反之，如果能從該公理系統(tǒng)中導(dǎo)出命題A和否命題非A(記作-A)，從A與-A并存就說明出現(xiàn)了矛盾，而矛盾的出現(xiàn)歸根到底是由于公理系統(tǒng)本身存在著矛盾的認(rèn)識，這是思維規(guī)律所不容許的。因此，公理系統(tǒng)的無矛盾性要求是一個(gè)基本要求，任何學(xué)科，理論體系都必須滿足這個(gè)要求。

獨(dú)立性

這一要求是指在一個(gè)公理系統(tǒng)中的每一條公理都獨(dú)立存在，不允許有一條公理能用其它公理把它推導(dǎo)出來，同時(shí)使公理的數(shù)目減少到最低限度。

完備性

這就是要求確保從公理系統(tǒng)中能推出所研究的數(shù)學(xué)分支的全部命題，也就是說，必要的公理不能減少，否則這個(gè)數(shù)學(xué)分支的許多真實(shí)命題將得不到理論的證明或者造成一些命題的證明沒有充足的理由。

從理論上講，一個(gè)公理系統(tǒng)的上述三條要求是必要的，同時(shí)也是合理的。至于某個(gè)所討論的公理系統(tǒng)是否滿足或能否滿足上述要求，甚至能否在理論上證明滿足上述要求的公理系統(tǒng)確實(shí)存在等，則是另外一回事了。應(yīng)該指出的是，對于一個(gè)較復(fù)雜的公理體系來說，要逐一驗(yàn)證這三條要求相當(dāng)困難，甚至至今不能徹底實(shí)現(xiàn)。2

方法運(yùn)用1．要積累大量的經(jīng)驗(yàn)、數(shù)據(jù)和資料，對這些經(jīng)驗(yàn)資料進(jìn)行分析歸納，使之系統(tǒng)化，最后上升為理論。因?yàn)楣硐到y(tǒng)的建立是以大量的事實(shí)為基礎(chǔ)，以豐富的經(jīng)驗(yàn)和已有的科學(xué)知識為前提的，設(shè)此無彼。

2．?dāng)?shù)學(xué)公理化的目的是要把一門數(shù)學(xué)整理成為一個(gè)演繹系統(tǒng)，而這一系統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)就是一組基本概念和公理。因此，要建立一門數(shù)學(xué)的演繹系統(tǒng)，就要在第一步的基礎(chǔ)上，從原有的資料、數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)中選擇一些基本概念和確定一組公理，然后由此來定義其它有關(guān)概念并證明有關(guān)命題。選取的基本概念是不定義概念，必須是無法用更原始、更簡單的概念去確定其涵義的，也就是說，它是高度純化的抽象，是最原始最簡單的思想規(guī)定。

3．在確定了基本概念和公理之后，就要由此出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，將一門數(shù)學(xué)展開成一個(gè)嚴(yán)格的理論系統(tǒng)。也就是說，對系統(tǒng)中的每一概念予以定義，而每一個(gè)定義中引用的概念必須是基本概念或已定義過的概念；對其它每一命題都給予證明，而在證明中作為論據(jù)的命題必須是公理或者已經(jīng)證明為真實(shí)的定理。因此，一門數(shù)學(xué)的演繹系統(tǒng)就是這門數(shù)學(xué)的基本概念、公理和定理所構(gòu)成的邏輯的鏈條。

在上述過程中，從認(rèn)識論的角度來看，任何公理系統(tǒng)的原始概念和公理的選取必須反映現(xiàn)實(shí)對象的本質(zhì)和關(guān)系。就是說，應(yīng)該有它真實(shí)的直觀背景而不是憑空臆造。其次，從邏輯的角度看，則不能認(rèn)為一些概念和公理的任意羅列就能構(gòu)成一個(gè)合理的公理系統(tǒng)，而一個(gè)有意義的公理系統(tǒng)必須是一個(gè)邏輯相容的體系。2

公理證明公理系統(tǒng)一個(gè)公理系統(tǒng)的相容性是至關(guān)重要的，因?yàn)橐粋€(gè)理論體系不能矛盾百出。而獨(dú)立性和完備性的要求則是次要的。因?yàn)樵谝粋€(gè)理論體系中，如果有多余的公理，對于理論的展開沒什么妨礙；如果獨(dú)立的公理不夠用，數(shù)學(xué)史上常常補(bǔ)充一些公理，逐步使之完備。下面僅就公理系統(tǒng)的相容性證明作一介紹。2

產(chǎn)生背景關(guān)于相容性征明這一概念的產(chǎn)生和歷史發(fā)展的背景是這樣的：自從羅巴切夫斯基幾何誕生后，由于羅氏平行公理(過平面上一已知直線外的一點(diǎn)至少可以引兩條直線與該已知直線平行)如此地為常識所不容，這才真正激起了人們對于數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無矛盾性證明的興趣和重視。后來，龐卡萊(Poincare`，1854-1912)在歐氏半平面上構(gòu)造了羅氏幾何的模型，把羅氏系統(tǒng)的相容性證明通過一個(gè)模型化歸為歐氏系統(tǒng)的相容性證明，但卻由此導(dǎo)致了人們對歐氏系統(tǒng)相容性的重重疑慮。幸虧那時(shí)已經(jīng)有了解析幾何，這就等于在實(shí)數(shù)系統(tǒng)中構(gòu)造了一個(gè)歐氏幾何的模型。這就把歐氏幾何的無矛盾性歸結(jié)到了實(shí)數(shù)論的相容性。那么實(shí)數(shù)論的相容性如何？戴德金(Dedekind，1831-1916)把實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)的分劃，也即有理數(shù)的無窮集合，因而把這個(gè)無矛盾性歸結(jié)到了自然數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性。又由于弗雷格( Frege，1848-1925)的自然數(shù)的概念是借助集合的概念加以定義的，因此，歸來歸去還是把矛盾集中到集合論那里去了。那么集合論的相容性如何？事實(shí)上，集合論的相容性正處于嚴(yán)重的“危機(jī)”之中，以致這種相容性的證明至今還未解決。2

龐卡萊模型龐卡萊為證明羅氏幾何的相容性，在歐氏系統(tǒng)中構(gòu)造了一個(gè)羅氏幾何的模型。即在歐氏平面上劃一條直線a將其分成上、下兩個(gè)半平面，把不包括這條直線在內(nèi)的上半平面作為羅氏平面，其上的歐氏點(diǎn)當(dāng)作羅氏幾何的點(diǎn)，把以該直線上任一點(diǎn)為中心，任一長為半徑的半圓周作為羅氏幾何的直線，然后對如此規(guī)定的羅氏幾何元素一一驗(yàn)證羅氏平行公理是成立的。

如圖4—3所示，過羅氏平面上任一羅氏直線l外的一點(diǎn)P，確實(shí)可以作出兩條羅氏直線與l平行。因?yàn)闅W氏直線a上的點(diǎn)不是羅氏幾何系統(tǒng)的元素，所以兩個(gè)半圓相交于直線a上某一點(diǎn)則應(yīng)看作相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，從而在有窮范圍內(nèi)永不相交。

這樣以來，如果羅氏系統(tǒng)在今后的展開中出現(xiàn)了正、反兩個(gè)互相矛盾的命題的話，則只要按上述規(guī)定之幾何元素間的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行翻譯，立即成為互相矛盾的兩個(gè)歐氏幾何定理．從而歐氏系統(tǒng)就矛盾了。因此，只要承認(rèn)歐氏系統(tǒng)是無矛盾的，那么羅氏系統(tǒng)一定也是相容的。這就把羅氏系統(tǒng)的相容性證明通過上述龐卡萊模型化歸為歐氏系統(tǒng)的相容性證明。這種把一個(gè)公理系統(tǒng)的相容性證明化歸為另一個(gè)看上去比較可靠的公理系統(tǒng)的相容性證明，或者說依靠一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的無矛盾性來保證另一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性叫做數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相對相容性證明。2

對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響由于相對相容性的出現(xiàn)，使人們對歐氏系統(tǒng)的相容性也憂心重重。而更糟的是，在羅氏系統(tǒng)的展開中人們又發(fā)現(xiàn)，羅氏幾何空間的極限球面上也可構(gòu)造歐氏模型，即歐氏幾何的全部公理能在羅氏的極限球上實(shí)現(xiàn)，于是歐氏幾何的相容性又可由羅氏幾何的相容性來保證！這說明歐氏與羅氏的公理系統(tǒng)雖然不同，但卻是互為相容的。人們當(dāng)然不滿足于兩者互相之間的相對相容性證明，因?yàn)榭瓷先ポ^為合理的歐氏系統(tǒng)的無矛盾性竟要由看上去很不合理的羅氏系統(tǒng)來保證，這是難以令人滿意的。于是人們開始尋求直接的相容性證明，本世紀(jì)初數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論就誕生了。由于在這一工作中所持的基本觀點(diǎn)不同，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論的研究中形成了諸如邏輯主義派、直覺主義派和形式公理學(xué)派三大流派。這些流派雖然并未最后解決相容性證明問題，但在方法論上卻各有貢獻(xiàn)，他們的方法論、思想方法對于數(shù)學(xué)的研究與發(fā)展都具有重要的意義，有些還值得進(jìn)一步分析、探討、繼承和發(fā)展。2