[科普中國]-全微分方程

全微分方程，又稱恰當(dāng)方程。若存在一個二元函數(shù)u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端為全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)，則稱其為全微分方程。全微分方程的充分必要條件為?M/?y=?N/?x。為了求出全微分方程的原函數(shù)，可以采用不定積分法和分組法，對于不是全微分方程，也可以借助積分因子使其成為全微分方程，再通過以上方法求解。

定義一階顯式方程

可以改寫成關(guān)于 和 的對稱形式

(1)

這種形式有時便于求解。這里 和 在某一矩形域 內(nèi)是 的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。

如果存在一個二元函數(shù) 使得該方程的左端恰好是它的全微分，即有

則稱其為全微分方程（或恰當(dāng)方程），而函數(shù) 是 的原函數(shù)。1

全微分方程的通積分形式當(dāng)方程 是全微分方程時，它可寫成 ，于是其通積分就是

(2)

其中 為任意常數(shù)。

事實上，設(shè) 是原方程的解，則有

即有

對 積分得到

這表明滿足方程(2)。

反之，設(shè)是函數(shù)方程(2)的解，即它是由(2)所確定的隱函數(shù)，則有

對微分得到

即

這表明滿足方程(1)。

因此全微分方程的通積分形式是。

根據(jù)上述表述，為了求解方程(1)，只要求出的一個原函數(shù)，就可得到方程(1)的通積分(2)。1

全微分方程的判別與求解①如何判別方程(1)為全微分方程，這個問題在數(shù)學(xué)內(nèi)早有結(jié)論，即

方程(1)是全微分方程的充分必要條件是

在矩形域內(nèi)成立。1

②如果已判定方程(1)為全微分方程，如何求出相應(yīng)全微分的原函數(shù)，這個問題在數(shù)學(xué)分析中也已經(jīng)得到解決，最常用的方法是不定積分法。

因為所求的原函數(shù)適應(yīng)方程組

首先由第一個式子出發(fā)，把看成參數(shù)，兩邊對積分，得

其中是的任意可微函數(shù)，而且要選擇適當(dāng)?shù)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/mNaYPugyy8lUqb3PHitJOt89fQbsqnw9PDaA.jpg" alt="" />，使滿足第二個式子。為此，將其代入第二個等式得

即

兩邊對積分，即可得到，再代回之前的積分，即可得到。

但對于某些特殊的全微分方程，為了求出相應(yīng)全微分的原函數(shù)，還可以采用相對簡單的“分組湊全微分”的方法，即把方程的左端各項進行重新組合，使每個組的原函數(shù)容易觀察得出，從而可以寫出。1

而對于不是全微分的方程，可以采用積分因子使其成為全微分方程，再根據(jù)以上方法求解。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡啟洲 - 副教授 - 南京理工大學(xué)