[科普中國]-李代數(shù)

簡介

一類重要的非結合代數(shù)。非結合代數(shù)是環(huán)論的一個分支，與結合代數(shù)有著密切聯(lián)系。結合代數(shù)的定義中把乘法結合律刪去，就是非結合代數(shù)。

李代數(shù)是挪威數(shù)學家索菲斯·李在19世紀后期研究連續(xù)變換群時引進的一個數(shù)學概念，它與李群的研究密切相關。在更早些時候，它曾以含蓄的形式出現(xiàn)在力學中，其先決條件是“無窮小變換”概念，這至少可追溯到微積分的發(fā)端時代?？捎美畲鷶?shù)語言表述的最早事實之一是關于哈密頓方程的積分問題。李是從探討具有r個參數(shù)的有限單群的結構開始的，并發(fā)現(xiàn)李代數(shù)的四種主要類型。法國數(shù)學家嘉當在1894年的論文中給出變數(shù)和參變數(shù)在復數(shù)域中的全部單李代數(shù)的一個完全分類。他和德國數(shù)學家基靈都發(fā)現(xiàn)，全部單李代數(shù)分成4個類型和5個例外代數(shù)，嘉當還構造出這些例外代數(shù)。嘉當和德國數(shù)學家外爾還用表示論來研究李代數(shù)，后者得到一個關鍵性的結果?！袄畲鷶?shù)”這個術語是1934年由外爾引進的。隨著時間的推移，李代數(shù)在數(shù)學以及古典力學和量子力學中的地位不斷上升。到20世紀80年代，李代數(shù)不再僅僅被理解為群論問題線性化的工具，它還是有限群理論及線性代數(shù)中許多重要問題的來源。李代數(shù)的理論不斷得到完善和發(fā)展，其理論與方法已滲透到數(shù)學和理論物理的許多領域。2

定義假設L是域F上的向量空間。如果L上有一個運算L×L→L，(x,y)→[x,y]滿足以下三個條件，則稱L是一個李代數(shù)。3

（1）這個運算是雙線性的，即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。

（2）[x,x]=0，對L中任意元素x∈L。

（3）[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，對所有L中元素x，y，z∈L。

首兩個條件蘊含反對稱性[x,y]=-[y,x]。

條件(3)稱為雅可比恒等式。

我們也可以把[x,]看成一個導子，即滿足萊布尼茲法則的導算子，將此導子記為ad x。

L的子空間K稱為(李)子代數(shù)，如果K關于運算[,]封閉。L 的子代數(shù)I若滿足[x,y]∈I,對于任意的x∈L,y∈I,則稱I為L的一個理想或不變子代數(shù)。顯然，它是L的子李代數(shù)。

李代數(shù)g作為F上向量空間,它的維數(shù)稱為李代數(shù)g的維數(shù)。

設g是域F上一個向量空間,在g中定義換位運算：對于X,Y∈g，令【X,Y】=0，則g作成一個李代數(shù)，稱為交換（或阿貝爾）李代數(shù)。

在R^3={(x1,x2,x3)|xi∈R,R 是實數(shù)域，i=1, 2，3}中, 設：

則R3作成R上一個李代數(shù)。

令V 是域F上一個向量空間?？芍猇的一切線性變換作成F上一個向量空間，設?、g是V的線性變換,令?g表示?與g的合成,并定義【?,g】=?g-g?，直接驗證可知，V的全體線性變換所組成的向量空間，對于這樣定義的換位運算,作成F上一個李代數(shù)。這個李代數(shù)稱為全線性李代數(shù)，記作g{(V)。

類似地,域F上全體n×n矩陣所組成的向量空間，對于換位運算【A,B】=A****B-B****A（A、B是n×n矩陣）,作成F上一個李代數(shù)，并稱之為F上全陣李代數(shù)，記作g{(n,F)。

更一般地,設U是域F上一個結合代數(shù)。對于α、b∈U定義【α,b】=αb-bα，則U作成F上一個李代數(shù)。

子代數(shù)、理想、商代數(shù)、同態(tài) 令g是域F上一個李代數(shù)，α、b是g的子空間。記【α,b】={Σ【A,B】(有限和)│A∈α,B∈b }，則【α, b】是g的一個子空間。設α是g的一個子空間。如果【α, α】嶅α，那么就稱α是g的一個子代數(shù);如果【α, g】嶅α,那么α就稱為g的一個理想。由于【α,g】=【g,α】，因此李代數(shù)的理想都是雙邊的。如果α是g的一個理想，在商空間g/α里，定義【X+α,Y+α】=【X,Y】+α，那么g/α作成F上一個李代數(shù),稱為g模α的商代數(shù)。

設g1、g2是域F上李代數(shù)。?:g1→g2是一個線性映射。如果對于X、Y∈g,?(【X,Y】)=【?(X), ?(Y)】，那么?就稱為一個同態(tài)映射。如果?還是一個雙射，那么就稱?是一個同構映射,這時g1與g2就稱為同構,記作g1≌g2。設?:g1→g2是一個同態(tài)映射，則 Im ?=?(g1)是g2的一個子代數(shù),而Ker?=?-1(0)是g1的一個理想，并且?導出一個同構g1/Ker ?≌Im ?。

設V是域F上一個n維向量空間。通過取定V的一個基，可以在全線性李代數(shù)g{（V）與全陣李代數(shù) g{(n, F)之間建立同構，因而常把這兩個李代數(shù)看成是一樣的。g{(n,F)（或g{(V)）的子代數(shù)稱為線性李代數(shù)。一些重要的線性李代數(shù)如下： t(n,F)={(αij)|(αij)∈g{(n,F)，αij=0,若i>j}。它是F上一切n×n上三角形矩陣所組成的集合。 n(n,F)={(αij)|(αij)∈t(n,F),αij=0,1≤i≤n}，即主對角線上元素都是0的 n×n上三角形矩陣所組成的集合。

容易驗證,t(n,F)和n(n,F)都是g{(n,F)的子代數(shù)。

域F上一切跡是0(即主對角線上元素的和等于0)的n×n 矩陣,作成g{(n,F)的一個理想,記作s{(n,F)。當F是復數(shù)域，而n=l+1(l≥1)時，這個李代數(shù)通常記作Al，稱為特殊線性李代數(shù)。

取定域F上一個n×n對稱或反對稱矩陣M。 令g={X∈g{(n,F)| tXM+MX =0}(X表示X的轉置), 則g是g{(n,F)的子代數(shù)。現(xiàn)設F是復數(shù)域，M是一個非退化對稱矩陣，于是M與以下兩個矩陣之一合同：

當n=2l+1時，有：

當n=2l時，有：

在前一情形，與之相當?shù)膅記作Bl；在后一情形，記作Dl。這兩類李代數(shù)都稱為正交代數(shù)。如果M是一個非退化反對稱矩陣，那么n一定是偶數(shù)：n=2l，因此M與合同。與此相當?shù)睦畲鷶?shù)g稱為辛代數(shù)，記作Cl。

可解李代數(shù)、冪零李代數(shù) 設g是域F上一個李代數(shù)，α、b是g的理想，那么【α,b】仍是g的一個理想，特別,g(1)=【g,g】, g(2)=【g(1),g(1)】,…,gn+1=【g(n), g(n)】，…都是g的理想。于是有g叾g(1)叾g(2)叾…，稱為g的導出鏈。g(1)稱為g的導出代數(shù)。如果存在一個正整數(shù)n，使得g(n)={0}，那么就說g是可解的。

再定義g1=g,g2=【g,g1】,…,gn+1=【g,gn】,…，又可得到g的一個理想序列g1叾g2叾…,稱為g的降中心鏈。如果存在一個正整數(shù)n，使得gn={0}，那么就說g是冪零的。因為g(i)嶅gi，所以冪零李代數(shù)一定是可解的。

恩格爾定理令V是域F上一個n（大于零）維向量空間，g是g{(V)的一個子代數(shù)。如果g的元素都是V的冪零線性變換, 那么存在V的一個非零向量v，使得對于每一個X∈g都有X·v=0，因此，適當選取V的基，并且將g{(V)與g{(n,F)看成一樣的,就有g嶅n(n,F)。

李定理令F是一個特征為0的代數(shù)閉域，V是F上一個n（大于零）維向量空間,g是g{(V)的一個可解子代數(shù)，則存在V 的一個非零向量v，使得對于每一X ∈g都有Xv=φ(X)v，φ(X)∈F。因此適當選取V的基可以使得g嶅t(n，F(xiàn))。

單李代數(shù)、半單李代數(shù) 域F上一個李代數(shù)g是所謂單的，即指除了g本身和{0}以外,g不含其他理想。F上一個有限維李代數(shù)g是所謂半單的，即指g不含非零可解理想。每一個有限維李代數(shù)g都含有惟一的最大可解理想r,就是這樣一個理想, 它包含g的一切可解理想，稱為g的根基。g是半單的當且僅當它的根基 r={0}。除一維李代數(shù)外,有限維單李代數(shù)都是半單的。特征為0的域上每一個半單李代數(shù)都是一些單李代數(shù)的直和。4

李代數(shù)的表示令g是域F上一個李代數(shù)，V 是F上一個向量空間。李代數(shù)的一個同態(tài)ρ: g→g{(V)，稱為g在V上的一個線性表示,簡稱表示。用(ρ，V)代表g在V上的表示ρ，V稱為ρ的表示空間。當dimV=n時,取定V的一個基，將g{(V)與g{(n,F)看成一樣,于是就得到一個李代數(shù)同態(tài)ρ: g→g{(n,F)，仍記作ρ,稱為g的一個矩陣表示。如果g的一個表示ρ是單射，那么就稱(ρ,V)是一個忠實表示。有阿多－巖沢定理：域F上每一個有限維李代數(shù)都有一個忠實表示。

設(ρ,V)是李代數(shù)g的一個表示。V的一個子空間W稱為ρ(g)不變的，即指W在一切ρ(X)(X∈g)之下不變。李代數(shù)g的一個表示(ρ,V)稱為不可約的，是指除{0}和V本身外,V沒有其他ρ(g)不變子空間。所謂(ρ,V)是完全可約的,意即V是一些ρ(g)不變的子空間的直和,并且ρ在每一個這樣的子空間上的限制都是不可約的。有外爾定理：特征為 0的域上半單李代數(shù)的每一（有限維）表示都是完全可約的。

最重要的一種表示就是所謂伴隨表示。設X是李代數(shù)g的一個元素。對于每一Y∈g，定義adX(Y)=【X,Y】，則adX是g的一個線性變換,并且ad∶X→adX(X∈g)是g到g{(g)的一個同態(tài)映射(利用雅可比恒等式很容易驗證)。因此，(ad,g)是g的一個表示。表示空間就是g本身，稱為g的伴隨表示。

設(ρ，V)是g的一個有限維表示。定義一個對稱雙線性型 k:g×g→F；對于X、Y ∈g, 定義k(X,Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的跡)。特別,當g是有限維的而ρ是伴隨表示ad時, k稱為g的基靈型?；`型在研究李代數(shù)的結構中起重要的作用。例如有嘉當判定準則：特征為0的域上一個(有限維)李代數(shù)是半單的,必要而且只要g的基靈型非退化。

例子具體例子1. 設V是域F上的線性空間，則V上線性變換全體構成了一個線性空間，記為gl(V)。定義[x,y]=xy-yx，這里x，y是gl(V)中元素，xy和yx都是線性變換的復合，則gl(V)關于這個運算構成李代數(shù)。這個李代數(shù)稱為一般線性代數(shù)(general linear algebra)。5

2. 設V是域F上的l+1維線性空間，則V上跡為0的線性變換構成一個線性空間，記為sl(V)。定義[x,y]=xy-yx，這里x，y是sl(V)中元素，xy和yx都是線性變換的復合，則sl(V)關于這個運算構成李代數(shù)。這個李代數(shù)稱為特殊線性代數(shù)(special linear algebra)。

3. 三維向量空間， 運算定義為通常的外積(叉乘)運算。

抽象例子1. L的中心Z(L)={z∈L | [x,z]=0, 對所有 x∈L}是一個李代數(shù)。

2. 集合[L,L]稱為導出代數(shù)，是由所有[x,y]線性組合構成的集合。它是一個李代數(shù)。