[科普中國(guó)]-二面角

相關(guān)概念

1.半平面：平面的一條直線把平面分成兩部分，其中每一部分都叫做一個(gè)半平面。

**2.平面角：**以二面角的公共直線上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

3.直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角?；ハ啻怪钡钠矫妫合嘟怀芍苯堑膬蓚€(gè)平面叫做互相垂直的平面。2

簡(jiǎn)述平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分為兩部分，每一部分都叫作半平面。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角。這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面。二面角的大小，可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是幾度，就說這個(gè)二面角是幾度。3二面角也可以看作是從一條直線出發(fā)的一個(gè)半平面繞著這條直線旋轉(zhuǎn)，它的最初位置和最終位置組成的圖形。

二面角的平面角的大小，與其頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān)。如果兩個(gè)二面角能夠完全重合，則說它們是相等的．如果兩個(gè)二面角的平面角相等，那么這兩個(gè)二面角相等。反之，相等二面角的平面角相等。

性質(zhì)關(guān)于二面角的性質(zhì)為：

(1)同一二面角的任意兩個(gè)平面角相等，較大二面角的平面角較大。

(2)兩個(gè)二面角的和或差所對(duì)應(yīng)的平面角，是原來兩個(gè)二面角所對(duì)應(yīng)的平面角的和或差。

(3)二面角可以平分，且平分面是唯一的。

(4)對(duì)棱二面角相等。4

平面角做法作二面角的平面角的常用方法有以下幾種：

1、定義法 ：在棱上取一點(diǎn)A，然后在兩個(gè)平面內(nèi)分別作過棱上A點(diǎn)的垂線。有時(shí)也可以在兩個(gè)平面內(nèi)分別作棱的垂線，再過其中的一個(gè)垂足作另一條垂線的平行線。

2、垂面法 ：作與棱垂直的平面，則垂面與二面角兩個(gè)面的交線所成的角就是二面角的平面角

3、面積射影定理：二面角的余弦值等于某一個(gè)半平面在另一個(gè)半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。即公式cosθ=S'/S（S'為射影面積，S為斜面面積）。運(yùn)用這一方法的關(guān)鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關(guān)平面上的射影，而且它們的面積容易求得。

4、三垂線定理及其逆定理法：先找到一個(gè)平面的垂線，再過垂足作棱的垂線，連接兩個(gè)垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分別作出兩個(gè)半平面的法向量，由向量夾角公式求得。二面角就是該夾角或其補(bǔ)角。

6、轉(zhuǎn)化法：在二面角α-l-β其中一個(gè)半平面α上找一點(diǎn)P，求出P到β的距離h和P到l的距離d，那么arcsin(h/d)（二面角為銳角）或π-arcsin(h/d)（二面角為鈍角）就是二面角的大小。

7、異面直線的距離法：設(shè)二面角為C-AB-D，其中AC和BD互為異面直線且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是異面直線AC和BD的公垂線）。設(shè)AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根據(jù) 來求異面直線所成角θ。利用該方法求θ必須先由圖像判斷二面角是銳角還是鈍角。如果是銳角，那么取正號(hào)；鈍角，那么取負(fù)號(hào)。待求出θ以后，如果二面角是銳角，那么二面角的大小就是θ；鈍角，那么二面角的大小就是π-θ。

其中，（1）、（2）點(diǎn)主要是根據(jù)定義來找二面角的平面角。

二面角一般都是在兩個(gè)平面的相交線上，取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，經(jīng)常是端點(diǎn)和中點(diǎn)。過這個(gè)點(diǎn)分別在兩平面做相交線的垂線，然后把兩條垂線放到一個(gè)三角形中考慮。有時(shí)也經(jīng)常做兩條垂線的平行線，使他們?cè)谝粋€(gè)更理想的三角形中。

求解方法幾何法（1）作出二面角的平面角

A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點(diǎn)作平面角；

B：利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角；

C：利用與棱垂直的直線，通過作棱的垂面作平面角；

D：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。

（2）證明該角為平面角

（3）歸納到三角形求角

向量法1）先建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)；

2）設(shè)面S1的法向量為 ，面S2法向量為 ；

3）然后求 和 的夾角θ的余弦

4）根據(jù)圖像觀察 和 的方向。如果兩個(gè)法向量一個(gè)指向二面角內(nèi)部另一個(gè)指向二面角外部，則二面角的大小就是θ。如果兩個(gè)法向量同時(shí)指向二面角內(nèi)部或外部，則二面角的大小為π-θ。