[科普中國(guó)]-拉普拉斯方程

基本概述

一個(gè)彎曲的表面稱為曲面，通常用相應(yīng)的兩個(gè)曲率半徑來(lái)描述曲面，即在曲面上某點(diǎn)作垂直于表面的直線，再通過(guò)此線作一平面，此平面與曲面的截線為曲線，在該點(diǎn)與曲線相切的圓半徑稱為該曲線的曲率半徑R1。通過(guò)表面垂線并垂直于第一個(gè)平面再作第二個(gè)平面并與曲面相交，可得到第二條截線和它的曲率半徑R2，用 R1與R2可表示出液體表面的彎曲情況。若液面是彎曲的，液體內(nèi)部的壓強(qiáng)p1與液體外的壓強(qiáng)p2就會(huì)不同，在液面兩邊就會(huì)產(chǎn)生壓強(qiáng)差△P= P1- P2，稱附加壓強(qiáng)，其數(shù)值與液面曲率大小有關(guān)，可表示為：，式中γ是液體表面張力系數(shù)，該公式稱為拉普拉斯方程。

在數(shù)理方程中拉普拉斯方程為：，其中?2為拉普拉斯算子，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問(wèn)題歸結(jié)為求解對(duì)實(shí)自變量x、y、z二階可微的實(shí)函數(shù)φ ：

其中?2稱為拉普拉斯算子。

拉普拉斯方程的解稱為調(diào)和函數(shù)。

如果等號(hào)右邊是一個(gè)給定的函數(shù)f（x，y，z），即：

則該方程稱為泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最簡(jiǎn)單的橢圓型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意維空間中定義這樣的算子）稱為拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或簡(jiǎn)稱作Laplacian。

方程的解稱為調(diào)和函數(shù)，此函數(shù)在方程成立的區(qū)域內(nèi)是解析的。任意兩個(gè)函數(shù)，如果它們都滿足拉普拉斯方程（或任意線性微分方程），這兩個(gè)函數(shù)之和（或任意形式的線性組合）同樣滿足前述方程。這種非常有用的性質(zhì)稱為疊加原理?？梢愿鶕?jù)該原理將復(fù)雜問(wèn)題的已知簡(jiǎn)單特解組合起來(lái)，構(gòu)造適用面更廣的通解。2

二維方程兩個(gè)自變量的拉普拉斯方程具有以下形式：

解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均滿足拉普拉斯方程。3

人物介紹拉普拉斯，1749年3月23日生于法國(guó)西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，曾任巴黎軍事學(xué)院數(shù)學(xué)教授。1795年任巴黎綜合工科學(xué)校教授，后又在高等師范學(xué)校任教授。1799年他還擔(dān)任過(guò)法國(guó)經(jīng)度局局長(zhǎng)，并在拿破侖政府中任過(guò)6個(gè)星期的內(nèi)政部長(zhǎng)。1816年被選為法蘭西學(xué)院院士，1817年任該院院長(zhǎng)。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天體問(wèn)題的過(guò)程中，創(chuàng)造和發(fā)展了許多數(shù)學(xué)的方法，以他的名字命名的4拉普拉斯變換、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

拉普拉斯曾任拿破侖的老師，所以和拿破侖結(jié)下不解之緣。拉普拉斯在數(shù)學(xué)上是個(gè)大師，在政治上是個(gè)小人物、墻頭草，總是效忠于得勢(shì)的一邊，被人看不起，拿破侖曾譏笑他把無(wú)窮小量的精神帶到內(nèi)閣里。在席卷法國(guó)的政治變動(dòng)中，包括拿破侖的興起和衰落，沒(méi)有顯著地打斷他的工作。盡管他是個(gè)曾染指政治的人，但他的威望以及他將數(shù)學(xué)應(yīng)用于軍事問(wèn)題的才能保護(hù)了他，同時(shí)也歸功于他顯示出的一種并不值得佩服的在政治態(tài)度方面見(jiàn)風(fēng)使舵的能力。5