[科普中國(guó)]-狄利克雷函數(shù)

簡(jiǎn)介

狄利克雷函數(shù)是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)范圍上、值域不連續(xù)的函數(shù)。狄利克雷函數(shù)的圖像以Y軸為對(duì)稱軸，是一個(gè)偶函數(shù)，它處處不連續(xù)，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個(gè)處處不連續(xù)的可測(cè)函數(shù)。

公式定義實(shí)數(shù)域上的狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)表示為：

（k，j為整數(shù)）也可以簡(jiǎn)單地表示分段函數(shù)的形式D(x)= 0（x是無(wú)理數(shù)）或1（x是有理數(shù)）

性質(zhì)分析基本性質(zhì)

1、定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域R

2、值域?yàn)閧0,1}

3、函數(shù)為偶函數(shù)

4、無(wú)法畫出函數(shù)圖像，但是它的函數(shù)圖像客觀存在

5、以任意正有理數(shù)為其周期，無(wú)最小正周期（由實(shí)數(shù)的連續(xù)統(tǒng)理論可知其無(wú)最小正周期）

分析性質(zhì)

1、處處不連續(xù)

2、處處不可導(dǎo)

3、在任何區(qū)間內(nèi)黎曼不可積

4、函數(shù)是可測(cè)函數(shù)

5、在單位區(qū)間[0,1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0（且任意區(qū)間以及R上甚至任何R的可測(cè)子集上（區(qū)間不論開(kāi)閉和是否有限）上的勒貝格積分值為0 ）

對(duì)性質(zhì)5的說(shuō)明：雖然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可積條件（說(shuō)明中Q為有理數(shù)集）1。

函數(shù)周期狄里克雷函數(shù)是周期函數(shù)，但是卻沒(méi)有最小正周期，它的周期是任意負(fù)有理數(shù)和正有理數(shù)。因?yàn)椴淮嬖谧钚∝?fù)有理數(shù)和正有理數(shù)，所以狄里克萊函數(shù)不存在最小正周期。

創(chuàng)始人介紹狄里克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805～1859），德國(guó)數(shù)學(xué)家。對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。1805年2月13日生于迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學(xué)時(shí)曾受教于物理學(xué)家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學(xué)，深受J.B.J.傅里葉的影響 ?；貒?guó)后先后在布雷斯勞大學(xué)、柏林軍事學(xué)院和柏林大學(xué)任教27年，對(duì)德國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。1839年任柏林大學(xué)教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學(xué)的教授職位。

在分析學(xué)方面，他是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一。1837年他提出函數(shù)是x與y之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)代觀點(diǎn)。

在數(shù)論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1833年狄里克雷撰寫了《數(shù)論講義》，對(duì)高斯劃時(shí)代的著作《算術(shù)研究》作了明晰的解釋并有創(chuàng)見(jiàn)，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構(gòu)造了狄里克雷級(jí)數(shù)。1838～1839年，他得到確定二次型類數(shù)的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數(shù)數(shù)域中單位數(shù)的阿貝爾群的結(jié)構(gòu)。

在數(shù)學(xué)物理方面，他對(duì)橢球體產(chǎn)生的引力、球在不可壓縮流體中的運(yùn)動(dòng)、由太陽(yáng)系穩(wěn)定性導(dǎo)出的一般穩(wěn)定性等課題都有重要論著。1850年發(fā)表了有關(guān)位勢(shì)理論的文章，論及著名的第一邊界值問(wèn)題，現(xiàn)稱狄里克雷問(wèn)題。

狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)．表示數(shù)學(xué)家“J對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變化。數(shù)學(xué)的一些“人造”特征開(kāi)始展現(xiàn)出來(lái)這種思想也標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”狄利克雷是數(shù)學(xué)史上第一位重視概念的人。并且是有意識(shí)地“以概念代替直覺(jué)”的人。在狄利克雷之前，數(shù)學(xué)家們主要研究具體函數(shù)進(jìn)行具體計(jì)算，他們不大考慮抽象問(wèn)題。但狄利克雷之后，事情逐漸變化了。人們開(kāi)始考慮函數(shù)的各種性質(zhì)，例如(函數(shù)的)對(duì)稱性、增減性、連續(xù)性等。