[科普中國(guó)]-微分幾何

簡(jiǎn)介

微分幾何是運(yùn)用微積分的理論研究空間的幾何性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。

古典微分幾何研究三維空間中的曲線和曲面，而現(xiàn)代微分幾何開始研究更一般的空間----流形。

微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)等其他數(shù)學(xué)分支有緊密的聯(lián)系，對(duì)物理學(xué)的發(fā)展也有重要影響。愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

歷史起源微分幾何的產(chǎn)生和發(fā)展是和微積分密切相連的。在這方面第一個(gè)做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler）。1736年他首先引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)這一概念，即以曲線弧長(zhǎng)這一幾何量作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開始了曲線的內(nèi)在幾何的研究。十九世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日（G. Monge）首先把微積分應(yīng)用到曲線和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的《分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學(xué)、物理學(xué)與工業(yè)的日益增長(zhǎng)的要求是促進(jìn)微分幾何發(fā)展的因素。

發(fā)展1827年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯發(fā)表了《關(guān)于曲面的一般研究》的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了曲面論的基礎(chǔ)。高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)。其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質(zhì)，例如曲面上曲線的長(zhǎng)度、兩條曲線的夾角、曲面上的某一區(qū)域的面積、測(cè)地線、測(cè)地曲率和總曲率等等。

1854年德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（B. Riemann）在他的教授職稱論文（Habilitationsschrift）中將高斯的理論推廣到n維空間，這就是黎曼幾何的誕生。其后許多數(shù)學(xué)家，包括E. Beltrami， E. B. Christoffel，R. Lipschitz，L. Bianchi，T. Ricci開始沿著黎曼的思路進(jìn)行研究。其中Bianchi是第一個(gè)將“微分幾何”作為書名的作者。

1870年德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（Felix Klein）在德國(guó)埃爾朗根大學(xué)作就職演講時(shí)，闡述了他的《埃爾朗根綱領(lǐng)》，用變換群對(duì)已有的幾何學(xué)進(jìn)行了分類。在《埃爾朗根綱領(lǐng)》發(fā)表后的半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，它成了幾何學(xué)的指導(dǎo)原理，推動(dòng)了幾何學(xué)的發(fā)展，導(dǎo)致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始于1878年阿爾方的學(xué)位論文，后來(lái)1906年起經(jīng)以威爾辛斯基為代表的美國(guó)學(xué)派所發(fā)展，1916年起又經(jīng)以富比尼為首的意大利學(xué)派所發(fā)展。在仿射微分幾何方面，布拉施克（W. Blaschke）也做出了決定性的工作。

整體微分幾何法國(guó)數(shù)學(xué)家E·嘉當(dāng)在微分幾何中強(qiáng)調(diào)聯(lián)絡(luò)的概念，建立了外微分的概念。這是整體微分幾何的奠基性的工作。隨后，中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身從外微分的觀點(diǎn)出發(fā)，推廣了曲面上的高斯-博內(nèi)定理。從此微分幾何成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)不可缺少的領(lǐng)域。1

基本內(nèi)容微分幾何學(xué)以光滑曲線(曲面)作為研究對(duì)象，所以整個(gè)微分幾何學(xué)是由曲線的弧線長(zhǎng)、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計(jì)算曲線或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。

在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無(wú)數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測(cè)地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個(gè)曲面的一條測(cè)地線，還要討論測(cè)地線的性質(zhì)等。另外，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂“活動(dòng)標(biāo)形的方法”。對(duì)任意曲線的“小范圍”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線“轉(zhuǎn)化”成初等曲線進(jìn)行研究。

在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無(wú)限小的范圍內(nèi)略去高階無(wú)窮小，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過(guò)程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。

應(yīng)用與影響近代由于對(duì)高維空間的微分幾何和對(duì)曲線、曲面整體性質(zhì)的研究，使微分幾何和拓?fù)鋵W(xué)、變分學(xué)、李群理論等有了密切的關(guān)系，這些數(shù)學(xué)領(lǐng)域和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心課題之一。2

微分幾何在力學(xué)和一些工程技術(shù)問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用，比如，在彈性薄殼結(jié)構(gòu)方面，在機(jī)械的齒輪嚙合理論應(yīng)用方面，都充分應(yīng)用了微分幾何學(xué)的理論。

微分幾何學(xué)的研究對(duì)數(shù)學(xué)其他分支以及力學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等的影響是不可估量的。如：偽球面上的幾何與非歐幾何有密切關(guān)系；測(cè)地線和力學(xué)、變分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等有著深刻的聯(lián)系，是內(nèi)容豐富的研究課題。這方面有以J.阿達(dá)馬、H.龐加萊等人為首的優(yōu)異研究。極小曲面是和復(fù)變函數(shù)論、變分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)關(guān)系極為深刻的研究領(lǐng)域，K.魏爾斯特拉斯、J.道格拉斯等人作出過(guò)卓越貢獻(xiàn)。

微分幾何學(xué)的研究工具大部分是微積分學(xué)。力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)以及技術(shù)和工業(yè)的日益增長(zhǎng)的要求則是微分幾何學(xué)發(fā)展的重要因素。盡管微分幾何學(xué)主要研究三維歐幾里得空間中的曲線、曲面的局部性質(zhì)，但它形成了現(xiàn)代微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)則是毋庸置疑的。因?yàn)橐蕾囉趫D形的直觀性及由它進(jìn)行類推的方法，即使在今天也未失其重要性。