[科普中國]-諾特模

定義諾特模是一種重要的模。它是阿廷模的對偶概念。即滿足極大條件的模。若A模M的任一子模升鏈M1M2…都是有限終止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，則稱模M滿足升鏈條件。模M是諾特模的充分必要條件是它滿足升鏈條件；也等價(jià)于，M的每個(gè)子模是有限生成的。若將環(huán)A看做左A模時(shí)它是諾特模，則稱A是左諾特環(huán)(關(guān)于右的情形完全類似)。諾特環(huán)是一類概括廣的重要環(huán)，它在代數(shù)幾何等學(xué)科中有很大的應(yīng)用價(jià)值。域上的多元多項(xiàng)式及其商環(huán)(因而代數(shù)曲線、代數(shù)曲面的坐標(biāo)環(huán))都是諾特環(huán)。2

阿廷模與諾特模對偶的概念，即滿足極小條件的模。若A模M的任一子模降鏈M1M2…都是有限終止的，即存在n，使得Mn=Mn+1=…，則稱模M滿足降鏈條件。模M是阿廷模的充分必要條件是它滿足降鏈條件。若將環(huán)A看做左A模時(shí)它是阿廷模，則稱環(huán)A是左阿廷環(huán)(關(guān)于右的情形完全類似)。有單位元的阿廷環(huán)一定是諾特環(huán)。

諾特環(huán)設(shè)R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，如果R的每個(gè)理想鏈I1?I2?I3?…都存在整數(shù)n，使得對任何i≥n，Ii=In，則稱R是一個(gè)諾特環(huán)。設(shè)R是一個(gè)交換環(huán)，R的理想Q稱為準(zhǔn)素理想，如果Q≠R，對任意的a，b∈R，若ab∈Q，a?Q，則必存在正整數(shù)n，使得b∈Q。設(shè)I是交換環(huán)R的理想，I的根(或稱冪零根)是包含I的所有素理想之交，記作或radI。準(zhǔn)素理想的根是一個(gè)素理想，這個(gè)素理想稱為與Q結(jié)合的素理想，或Q是屬于這個(gè)素理想的準(zhǔn)素理想。交換環(huán)R中的理想I稱為有準(zhǔn)素分解，如果I=Qi∩…∩Qn，其中Qi，i=1，…，n都是準(zhǔn)素理想。如果每個(gè)Qi都不包含3Q1∩…∩Qi-1∩Qi+1∩…∩Qn，而且Qi的根互不相同，則稱這樣的準(zhǔn)素分解是既約的。一個(gè)有單位元的交換環(huán)R是諾特環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每個(gè)理想是有限生成的，當(dāng)且僅當(dāng)R滿足理想的極大條件：對R的任一個(gè)理想的非空族{Iλ}，其中必存在極大元I，即若J∈ {Iλ}，I?J，則I=J。含幺交換環(huán)是諾特環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)素理想是有限生成的。諾特環(huán)R的每個(gè)理想I，I≠R，有準(zhǔn)素分解，而且若I=A1∩…∩An，I=B1∩…∩Bm是兩個(gè)既約準(zhǔn)素分解，其中Ai是屬于Pi的準(zhǔn)素理想，Bj是屬于Qj的準(zhǔn)素理想，則n=m，而且適當(dāng)重排順序后，Pi=Qi。環(huán)R的非空子集S稱為R的一個(gè)乘閉子集，如果對任何a，b∈S，ab∈S。設(shè)S是交換環(huán)R的一個(gè)乘閉子集，在集合R×S上定義一個(gè)關(guān)系～： (r，s) ～ (r′，s′)，如果存在S1∈S使得s1(rs′-r′s) =0，這個(gè)關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，(r，s)所在等價(jià)類記作r/s，R×S的全體等價(jià)類做成的集合記作SR，在SR中定義則SR做成一個(gè)有單位元的交換環(huán)。SR稱為R對于S的分式環(huán)。一個(gè)有單位元的交換環(huán)稱為局部環(huán)，如果它只有一個(gè)極大理想。設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，P是R的素理想，令S=R\P，則S是R的乘閉子集，分式環(huán)SR是一個(gè)局部環(huán)，稱為R在P處的局部化，記作Rp。設(shè)S是諾特環(huán)R的乘閉子集，則SR也是諾特環(huán)。設(shè)R是—個(gè)諾特環(huán)，R[x1，…，xn]是R上文字x1，…，xn的多項(xiàng)式全體做成的環(huán)，則R[x1，…，xn]也是諾特環(huán)，這個(gè)結(jié)論稱為希爾伯特基定理。設(shè)R是一個(gè)諾特環(huán)，R[[x]]是R上文字x的形式冪級數(shù)全體做成的環(huán)，則R[[x]]也是諾特環(huán)。4

性質(zhì)模M是諾特的，當(dāng)且僅當(dāng)M的任意子模是有限生成的A模。

證明：=>否則不妨設(shè)，那么為無窮升鏈，與M是諾特的相矛盾。

若M是諾特的，顯然N也是諾特的。對于M/N的任意自模，唯一對應(yīng)了一個(gè)包含N的M自模，因此易知其也為諾特的。

r時(shí)有且，對于第二項(xiàng)我們用群同構(gòu)定理可知，又由第一項(xiàng)我們有。

推論1：如果是諾特的，那么也是諾特的。

**推論2：**如果R是諾特環(huán)，那么其上的有限生成模是諾特的。5