[科普中國(guó)]-數(shù)學(xué)物理

簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)物理以研究物理問(wèn)題為目標(biāo)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法。它探討物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，即尋求物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，并對(duì)模型已確立的物理問(wèn)題研究其數(shù)學(xué)解法，然后根據(jù)解答來(lái)詮釋和預(yù)見(jiàn)物理現(xiàn)象，或者根據(jù)物理事實(shí)來(lái)修正原有模型。“數(shù)理”也叫“數(shù)學(xué)物理”，是數(shù)學(xué)和物理學(xué)的交叉領(lǐng)域，指應(yīng)用特定的數(shù)學(xué)方法來(lái)研究物理學(xué)的某些部分。對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法也叫數(shù)學(xué)物理方法。

主要內(nèi)容1、微分方程的解算：很多物理問(wèn)題，比如在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中求解運(yùn)動(dòng)方程，都可以被歸結(jié)為求解一定邊界條件下的微分方程。因此求解微分方程成為數(shù)學(xué)物理的最重要組成部分。相關(guān)的數(shù)學(xué)工具包括：

常微分方程的求解

偏微分方程求解

特殊函數(shù)

積分變換

復(fù)變函數(shù)論

2、場(chǎng)的研究（場(chǎng)論）：場(chǎng)是現(xiàn)代物理的主要研究對(duì)象。電動(dòng)力學(xué)研究電磁場(chǎng)；廣義相對(duì)論研究引力場(chǎng)；規(guī)范場(chǎng)論研究規(guī)范場(chǎng)。對(duì)不同的場(chǎng)要應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)工具，包括：

矢量分析

張量分析

微分幾何

3、對(duì)稱性的研究：對(duì)稱性是物理中的重要概念。它是守恒律的基礎(chǔ)，在晶體學(xué)和量子場(chǎng)論中都有重要應(yīng)用。對(duì)稱性由對(duì)稱群或相關(guān)的代數(shù)結(jié)構(gòu)描述，研究它的數(shù)學(xué)工具是：

群論

表示論

4、作用量（action）理論：作用量理論被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，例如分析力學(xué)和路徑積分。相關(guān)的數(shù)學(xué)工具包括：

變分法

泛函分析

研究歷史問(wèn)題的研究一直和數(shù)學(xué)密切相關(guān)。作為近代物理學(xué)始點(diǎn)的牛頓力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)用常微分方程來(lái)刻畫，求解這些方程就成為牛頓力學(xué)中的重要數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種研究一直持續(xù)到今天。例如天體力學(xué)中的三體問(wèn)題和各種經(jīng)典的動(dòng)力系統(tǒng)都是長(zhǎng)期研究的對(duì)象。在18世紀(jì)中，牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)開始由變分原理所刻畫，這又促進(jìn)了變分法的發(fā)展，并且到后來(lái)，許多物理理論都以變分原理作為自己的基礎(chǔ)。從18世紀(jì)以來(lái)，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與傳熱學(xué)和電磁場(chǎng)理論中，歸結(jié)出許多偏微分方程，通稱數(shù)學(xué)物理方程（也包括有物理意義的積分方程、微分積分方程和常微分方程）。

直到20世紀(jì)初期，數(shù)學(xué)物理方程的研究才成為數(shù)學(xué)物理的主要內(nèi)容。此后，聯(lián)系于等離子體物理、 固體物理、 非線性光學(xué)、空間技術(shù)、核技術(shù)等方面的需要，又有許多新的偏微分方程問(wèn)題出現(xiàn)，例如孤立子波、間斷解、分歧解、反問(wèn)題等等。它們使數(shù)學(xué)物理方程的內(nèi)容進(jìn)一步豐富起來(lái)。復(fù)變函數(shù)、積分變換、特殊函數(shù)、變分法、調(diào)和分析、泛函分析以至于微分幾何****、****代數(shù)幾何都已是研究數(shù)學(xué)物理方程的有效工具。

從20世紀(jì)開始，因?yàn)槲锢韺W(xué)內(nèi)容的更新，數(shù)學(xué)物理也有新的面貌。伴隨著對(duì)電磁理論與引力場(chǎng)的深入研究，人們的時(shí)空觀念發(fā)生了根本的變化，這使得閔科夫斯基空間和黎曼空間(用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)說(shuō)，洛倫茨流形)的幾何學(xué)成為愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論所必需的數(shù)學(xué)理論，許多物理量以向量、張量和旋量作為表達(dá)形式。在探討大范圍時(shí)空結(jié)構(gòu)時(shí)，還需要整體微分幾何。

量子力學(xué)和量子場(chǎng)論的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)物理添加了非常豐富的內(nèi)容。在量子力學(xué)中物質(zhì)的態(tài)用波函數(shù)刻畫，物理量成為算子，測(cè)量到的物理量是算子的譜。在量子場(chǎng)論中波函數(shù)又被二次量子化成為算子，在電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用中描述粒子的產(chǎn)生和消滅。因此，必須研究各種函數(shù)空間的算子譜、函數(shù)的譜分析和由算子所形成的代數(shù)。同時(shí)還要研究微擾展開和重正化（處理發(fā)散困難）的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外，用非微擾方法研究非線性場(chǎng)論也是一個(gè)令人注目的課題。 物理對(duì)象中揭示出的多種多樣的對(duì)稱性，使得群論顯得非常有用。晶體的結(jié)構(gòu)就是由歐幾里得空間運(yùn)動(dòng)群的若干子群給出。正交群和洛倫茨群的各種表示對(duì)討論具有時(shí)空對(duì)稱性的許多物理問(wèn)題有很重要的作用?；玖Ｗ又g,也有種種對(duì)稱性,可以按群論明確它們的某些關(guān)系。對(duì)基本粒子的內(nèi)在對(duì)稱性的研究更導(dǎo)致了楊－米爾斯理論的產(chǎn)生。它在粒子物理學(xué)中意義重大，統(tǒng)一了弱相互作用和電磁相互作用的理論，提供了研究強(qiáng)子結(jié)構(gòu)的工具。這個(gè)理論以規(guī)范勢(shì)為出發(fā)點(diǎn)，而它就是數(shù)學(xué)家所研究的纖維叢上的聯(lián)絡(luò)（這是現(xiàn)代微分幾何學(xué)中非常重要的一個(gè)概念）。有關(guān)纖維叢的拓?fù)洳蛔兞恳查_始對(duì)物理學(xué)發(fā)揮作用。

微觀的物理對(duì)象往往有隨機(jī)性。在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)里需要對(duì)各種隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律有深入的研究。

應(yīng)用數(shù)學(xué)物理（mathematical physics）

簡(jiǎn)介（用數(shù)學(xué)來(lái)解決物理問(wèn)題）：

數(shù)學(xué)和物理學(xué)的交叉領(lǐng)域，指應(yīng)用特定的數(shù)學(xué)方法來(lái)來(lái)研究的物理學(xué)的某些部分。對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)方法也叫數(shù)學(xué)物理法。

數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展歷史上一直密不可分。許多數(shù)學(xué)理論是在物理問(wèn)題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的；很多數(shù)學(xué)方法和工具通常也只在物理學(xué)中找到實(shí)際應(yīng)用。

以研究物理問(wèn)題為目標(biāo)的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法。它探討物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并針對(duì)模型已確立的物理問(wèn)題研究其數(shù)學(xué)解法，此解釋和預(yù)見(jiàn)物理現(xiàn)象，或者根據(jù)物理事實(shí)來(lái)修正原有模型。物理問(wèn)題的研究一直和數(shù)學(xué)密切相關(guān)。在牛頓力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)和剛體的運(yùn)動(dòng)用常微分方程來(lái)描述，求解這些方程就成為牛頓力學(xué)中的重要數(shù)學(xué)問(wèn)題。18世紀(jì)以來(lái)，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、傳熱學(xué)和電磁場(chǎng)理論中，歸結(jié)出許多偏微分方程，通稱數(shù)學(xué)物理方程。20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)物理方程的研究開始成為數(shù)學(xué)物理的主要內(nèi)容。此后基于等離子體物理、固體物理、非線性光學(xué)、空間技術(shù)、核技術(shù)等方面的需要，又有許多新的偏微分方程問(wèn)題出現(xiàn)，如孤立子波，間斷解，分歧解，反問(wèn)題等，它們使數(shù)學(xué)物理方程的內(nèi)容進(jìn)一步豐富起來(lái)。20世紀(jì)以來(lái)，由于物理學(xué)內(nèi)容的更新，數(shù)學(xué)物理也有了新的面貌。伴隨著對(duì)電磁理論和引力場(chǎng)的深入研究，人們對(duì)時(shí)空觀念發(fā)生了根本的變化。這使得閔科夫斯基空間和黎曼空間的幾何學(xué)成為愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論所必需的數(shù)學(xué)理論。在探討大范圍時(shí)空結(jié)構(gòu)時(shí)，還需要整體微分幾何。量子力學(xué)和量子場(chǎng)論的產(chǎn)生，使數(shù)學(xué)物理添加了非常豐富的內(nèi)容。物理對(duì)象中揭示出的多種多樣的對(duì)稱性使得群論顯得非常有用。晶體的結(jié)構(gòu)就是由歐幾里得空間運(yùn)動(dòng)群的若干子群給出的。正交群和洛倫茲群的各種表示對(duì)討論具有時(shí)空對(duì)稱性的許多物理問(wèn)題有很重要的作用。對(duì)基本粒子相互作用的內(nèi)在對(duì)稱性的研究更導(dǎo)致了楊-米爾斯理論的產(chǎn)生。這個(gè)理論以規(guī)范勢(shì)為出發(fā)點(diǎn)，而它就是數(shù)學(xué)家所研究的纖維叢上的聯(lián)絡(luò)。有關(guān)纖維叢的拓?fù)洳蛔兞恳查_始對(duì)物理學(xué)發(fā)揮作用。微觀的物理對(duì)象往往有隨機(jī)性。在經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中需要對(duì)各種隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律有深入的研究。隨著電子計(jì)算機(jī)發(fā)展，數(shù)學(xué)物理里的許多問(wèn)題能通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)解決。由此發(fā)展起來(lái)的計(jì)算力學(xué)、計(jì)算物理都發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。科學(xué)的發(fā)展表明，數(shù)學(xué)物理的內(nèi)容越來(lái)越豐富，解決物理問(wèn)題的能力也越來(lái)越強(qiáng)。數(shù)學(xué)物理的研究對(duì)數(shù)學(xué)也有很大的促進(jìn)作用，它是產(chǎn)生數(shù)學(xué)的新思想、新對(duì)象、新問(wèn)題以及新方法的一個(gè)源泉。

處理步驟對(duì)一個(gè)物理問(wèn)題的處理，通常需要三個(gè)步驟： 一、利用物理定律將物理問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題；

二、解該數(shù)學(xué)問(wèn)題；

三、將所得的數(shù)學(xué)結(jié)果翻譯成物理，即討論所得結(jié)果的物理意義。

因此，物理是以數(shù)學(xué)為語(yǔ)言的，而"數(shù)學(xué)物理方法"正是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)和專業(yè)課程的重要橋梁。本課程的重要任務(wù)就是教會(huì)學(xué)生如何把各種物理問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)的定解問(wèn)題，并掌握求解定解問(wèn)題的多

課程設(shè)置數(shù)學(xué)物理方法是物理系本科各專業(yè)學(xué)生必修的重要基礎(chǔ)課，也是海洋科學(xué)類、力學(xué)類、電子信息科學(xué)類、材料科學(xué)類等專業(yè)的重要公共基礎(chǔ)課。本課程定位于在高等數(shù)學(xué)和普通物理的基礎(chǔ)上，以講授古典數(shù)學(xué)物理中的常用方法為主，適當(dāng)介紹In recent years,的新發(fā)展，為后繼有關(guān)專業(yè)課程作準(zhǔn)備。所以，本課程受到了廣大學(xué)生的高度重視1。

發(fā)展隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，數(shù)學(xué)物理中的許多問(wèn)題可以通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)解決，由此發(fā)展起來(lái)的“計(jì)算力學(xué)”和“計(jì)算物理”都發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。計(jì)算機(jī)直接模擬物理模型也成為重要的方法。此外各種漸近方法也繼續(xù)獲得發(fā)展。

科學(xué)的發(fā)展表明，數(shù)學(xué)物理的內(nèi)容將越來(lái)越豐富，解決物理問(wèn)題的能力也越來(lái)越強(qiáng)。其他各門科學(xué)，如化學(xué)、生物學(xué)、地學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等也廣泛地利用數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行研究。數(shù)學(xué)物理中的許多方法和結(jié)果對(duì)這些研究發(fā)揮了很好的作用。

在工程科學(xué)中，處處需要精確地求解物理問(wèn)題，所以數(shù)學(xué)物理對(duì)于技術(shù)進(jìn)步也有非常重要的意義。此外，數(shù)學(xué)物理的研究對(duì)數(shù)學(xué)有很大的促進(jìn)作用。它是產(chǎn)生數(shù)學(xué)的新思想、新對(duì)象、新問(wèn)題以及新方法的一個(gè)源泉。