[科普中國]-多邊形

概念

由在同一平面且不在同一直線上的三條或三條以上的線段首尾順次連結且不相交所組成的封閉圖形叫做多邊形。在不同平面上的多條線段首尾順次連結且不相交所組成的圖形也被稱為多邊形，是廣義的多邊形。

組成多邊形的線段至少有3條，三角形是最簡單的多邊形。組成多邊形的每一條線段叫做多邊形的邊；相鄰的兩條線段的公共端點叫做多邊形的頂點；多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內角；連接多邊形的兩個不相鄰頂點的線段叫做多邊形的對角線。

多邊形內角的一邊與另一邊反向延長線所組成的角，叫做多邊形的外角。

在多邊形的每一個定點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做多邊形的外角和。

多邊形還可以分為正多邊形和非正多邊形。正多邊形各邊相等且各內角相等。

多邊形分平面多邊形和空間多邊形。平面多邊形的所有頂點全在同一個平面上，空間多邊形至少有一個頂點和其它的頂點不在同一個平面上。

多邊形也可以分為凸多邊形及凹多邊形，凸多邊形全部都是平面多邊形（平面多邊形不等于凸多邊形，還包括平面的凹多邊形），但是凹多邊形卻非全是1空間多邊形，也有平面凹多邊形。

有限個點A1、A2、A3、…、An-1、An和線段A1A2、A2A3、…、An-1An的總體，叫做折線。A1和An叫做這折線的端點；A2、A3、…、An-1叫做折線的頂點；A1A2、A2A3、…、An-1An叫做折線的段節(jié)。如果折線的端點和各頂點不在同一平面內，則叫做空間折線；如果各頂點和兩端點都在同一平面內，就叫平面折線。兩端點重合的折線，叫做多邊形。由空間折線構成的多邊形叫做空間多邊形；由平面折線構成的多邊形叫做平面多邊形。如果折線A1A2A3…An-1An的兩端點A1和An重合，就成多邊形A1A2A3…An-1An；A1A2、A2A3、 …、An-1An 叫做多邊形的邊；∠AnA1A2、∠A1A2A3、…叫做多邊形的角；A1、A2、A3、…、An-1、An叫做這個多邊形的頂點。平面多邊形按邊數(shù)分類，可分為三邊形（三角形）、四邊形、五邊形、六邊形等等。

多邊形定理內角1、n邊形的內角和等于（n-2）x180；

注：此定理適用所有的平面多邊形，包括凸多邊形和平面凹多邊形。

2、在平面多邊形中，邊數(shù)相等的凸多邊形和凹多邊形內角和相等。但是空間多邊形不適用。可逆用：

n邊形的邊=（內角和÷180°）+2；

過n邊形一個頂點有（n-3）條對角線；

n邊形共有n×（n-3）÷2=對角線；

3、 n邊形過一個頂點引出所有對角線后，把多邊形分成n-2個三角形

推論：

（1）任意凸形多邊形的外角和都等于360°；

（2）多邊形對角線的計算公式：n邊形的對角線條數(shù)等于1/2·n（n-3）；

（3）在平面內，各邊相等，各內角也都相等的多邊形叫做正多邊形。【兩個條件必須同時滿足】

反例：矩形（各內角相等，各邊不一定相等）；菱形（各邊相等，各內角不一定相等）。

外角多邊形外角和定理：

1、n邊形外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°

2、多邊形的每個內角與它相鄰的外角是鄰補角，所以n邊形內角和加外角和等于n·180°

3、多邊形的內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角，叫這個多邊形的外角，（這樣的產(chǎn)生外角有兩個，由于他們相等，但我們通常只取其中一個）。

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