[科普中國(guó)]-Z分?jǐn)?shù)

定義

z分?jǐn)?shù)能夠真實(shí)的反應(yīng)一個(gè)分?jǐn)?shù)距離平均數(shù)的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)距離。如果我們把每一個(gè)分?jǐn)?shù)都轉(zhuǎn)換成z分?jǐn)?shù)，那么每一個(gè)z分?jǐn)?shù)會(huì)以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)具體分?jǐn)?shù)到平均數(shù)的距離或離差。將成正態(tài)分布的數(shù)據(jù)中的原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為z分?jǐn)?shù)，我們就可以通過(guò)查閱z分?jǐn)?shù)在正態(tài)曲線下面積的表格來(lái)得知平均數(shù)與z分?jǐn)?shù)之間的面積，進(jìn)而得知原始分?jǐn)?shù)在數(shù)據(jù)集合中的百分等級(jí)。一個(gè)數(shù)列的各z分?jǐn)?shù)的平方和等于該數(shù)列數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，并且z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差都為1.平均數(shù)為0.

公式總體z分?jǐn)?shù)： 。其中μ為總體平均值，X-μ為離均差，σ表示總體標(biāo)準(zhǔn)偏差1。z的絕對(duì)值表示在標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的原始分?jǐn)?shù)與總體均值之間的距離。當(dāng)原始分?jǐn)?shù)低于平均值時(shí)，z為負(fù)，以上為正。

其中，計(jì)算z需要總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，而不是樣本平均值或樣本偏差。 它需要知道總體參數(shù)，而不是從感興趣的總體中抽取樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。但可以使用隨機(jī)樣本來(lái)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差。

z分?jǐn)?shù)測(cè)量實(shí)際數(shù)據(jù)的平均距離。

z值提供了對(duì)偏離目標(biāo)的評(píng)估。

樣本z分?jǐn)?shù)：

應(yīng)用z分?jǐn)?shù)常用于標(biāo)準(zhǔn)化考試的z - test——模擬學(xué)生的t檢驗(yàn)，而不是估計(jì)其參數(shù)。由于了解整個(gè)總體的情況很復(fù)雜，所以t檢驗(yàn)被廣泛應(yīng)用。

此外，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)可用于計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間2。一個(gè)預(yù)測(cè)區(qū)間[L,U]，由一個(gè)較低的端點(diǎn)指定的L和一個(gè)上端點(diǎn)指定的U組成，這是一個(gè)區(qū)間，未來(lái)的觀察值X將在高概率γ伽瑪?shù)膮^(qū)間內(nèi)，即

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z(X)，給出：。

通過(guò)確定z分?jǐn)?shù)，

它遵循：

數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)中的標(biāo)準(zhǔn)化在數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)中，任意變量X的標(biāo)準(zhǔn)化過(guò)程是減去它的期望值E(X)并且除以它的標(biāo)準(zhǔn)差，即：

若上述任意變量X是任意采樣結(jié)果的平均值，即：

那么，標(biāo)準(zhǔn)化格式變?yōu)椋?

T分?jǐn)?shù)在教育評(píng)估中，T分?jǐn)?shù)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z，并且平均數(shù)為50，標(biāo)準(zhǔn)偏差為10。

在骨密度測(cè)量中，與健康30歲成年人的人群相比，T評(píng)分是測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分。4