[科普中國]-狄利克雷定理

人物介紹

狄利克雷（1805～1859） Dirichlet，Peter Gustav Lejeune 德國數(shù)學(xué)家。對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。1805年2月13日生于迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學(xué)時曾受教于物理學(xué)家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學(xué)，深受J.-B.-J.傅里葉的影響 。回國后先后在布雷斯勞大學(xué)、柏林軍事學(xué)院和柏林大學(xué)任教27年，對德國數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生巨大影響。1839年任柏林大學(xué)教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學(xué)的教授職位。

在分析學(xué)方面，他是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一。1837年他提出函數(shù)是x與y之間的一種對應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)代觀點(diǎn)。

在數(shù)論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1836年狄利克雷撰寫了《數(shù)論講義》，對高斯劃時代的著作《算術(shù)研究》作了明晰的解釋并有創(chuàng)見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構(gòu)造了狄利克雷級數(shù)。1838～1839年，他得到確定二次型 類數(shù)的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數(shù)數(shù)域中單位數(shù)的阿貝爾群的結(jié)構(gòu)。

在數(shù)學(xué)物理方面，他對橢球體產(chǎn)生的引力、球在不可壓縮流體中的運(yùn)動、由太陽系穩(wěn)定性導(dǎo)出的一般穩(wěn)定性等課題都有重要論著。1850年發(fā)表了有關(guān)位勢理論的文章，論及著名的第一邊界值問題，現(xiàn)稱狄利克雷問題。2

定理定義歐幾里得證明了有無限個質(zhì)數(shù)，即有無限多個質(zhì)數(shù)的形式如2n+1。3

算術(shù)級數(shù)的質(zhì)數(shù)定理：若a,d互質(zhì)，則有

其中φ是歐拉函數(shù)。取d=2，可得一般的質(zhì)數(shù)定理。

Linnik定理說明了級數(shù)中最小的質(zhì)數(shù)的范圍：算術(shù)級數(shù)a+nd中最小的質(zhì)數(shù)少于c*d^L，其中L和c均為常數(shù)，但這兩個常數(shù)的最小值尚未找到。

Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴(kuò)張的推廣。

驗證推導(dǎo)狄利克雷定理的證明依賴狄利克雷L級數(shù)，我們定義 如下：4

考察其對數(shù)形式為：

將上式分開寫為：

易知：

在s=1處解析（因為絕對收斂）。

下面我們構(gòu)造狄利克雷算術(shù)級數(shù)素數(shù)部分的和函數(shù)：

上式之所以成立是由狄利克雷特征的正交性決定的，將其改寫為：

顯然 當(dāng) 時解析，當(dāng) 時我們有：

因此我們有：

至此，我們已經(jīng)證明了：5

故存在無窮多個素數(shù) ，且其分布密度為 。