[科普中國]-擬共形映射

簡介

擬共形映射又稱擬保角映射，原本是復分析中的一套技術(shù)手段，現(xiàn)已發(fā)展為一套獨立學科。其定義如下：

固定實數(shù) K > 0。設(shè) D,D' 為平面上的開子集，連續(xù)可微函數(shù) 保持定向。若在每一點上其導數(shù) 將圓映至離心率小于等于 K 之橢圓，則稱 為 K-擬共形映射，由此可見共形映射是 1-擬共形映射。

若存在 K 使 為擬共形映射，則稱 為擬共形映射。

擬共形映射的定義也可以延伸至較高維度或非連續(xù)可微的情形

在定義區(qū)域內(nèi)把每一微小圓映成微小橢圓的映射，是共形映射的推廣。如果所映成的橢圓的長軸與短軸之比在定義區(qū)域內(nèi)恒不大于K，則此映射為K-擬共形映射。在可微點處， 與 滿足不等式 。這種映射較共形映射的條件弱，但保留著共形映射多種性質(zhì)，靈活而便于應用。

最早提出這類新映射的是H.格勒奇(1928)，他為了敘述與證明皮卡定理的一個推廣而引進這類新映射。他同時給出了伸縮商概念，它可以度量這類新映射與熟知的共形映射的偏差程度。М.Α.拉夫連季耶夫(1935)，L.V.阿爾福斯(1936)又分別從偏微分方程與函數(shù)論的角度研究了這類新映射。這樣，擬共形映射這個術(shù)語開始出現(xiàn)1。

擬共形映射的概念不能僅限于可微的情形，因為可微的擬共形映射類缺乏緊性。在這個概念的演變過程中，形成為分析的與幾何的兩種定義形式；這二者最終又統(tǒng)一了起來(1957)。

定義分析定義：對于平面上的復值可測函數(shù)μ(z),μ(z)是本性有界的， 以M(z)為系數(shù)的貝爾特拉米方程

相應條件在 中的弱正則同胚解?,稱為K- 擬共形映射，其中 。對于上述的μ(z)，方程(1)必存在一個同胚解。如果還有另外一個解g，則F=g☉?必是解析的，此時g=F☉?。因此，如要求(1)的全平面的同胚解且保持0、1、∞為不動點，則這樣的解是唯一的，稱為方程(1)的基本同胚。存在定理的證明有一個長的歷程，并有許多證法。最簡單的證法是借助于考爾德倫－贊格蒙理論而獲得的(1957)。最早的證明應該屬于C.B.莫利(1938)，只是因為術(shù)語與重點的不同才掩蓋了他的工作與這一理論的聯(lián)系，而這種聯(lián)系是L.伯斯在1957年發(fā)現(xiàn)的。

幾何定義用了極值長度概念。設(shè)Г 是平面上一族局部可求長弧，ρ是平面上的正值可測函數(shù)，并且

設(shè)?是域內(nèi)一個正向同胚映射，如果λ（f☉Γ） K λ （Γ）對該域內(nèi)任一族曲線Г 成立，則? 是一個 K- 擬共形映射。這是K-擬共形映射的幾何定義。因為極值長度是不受維數(shù)限制的，所以幾何定義可以進行形式推廣而形成高維擬共形映射。這方面的工作只初具規(guī)模。

當K=1即k=0時，貝爾特拉米方程退化為柯西－黎曼方程；而式(2)則意味著極值長度乃是共形映射下的不變量。1-擬共形映射恰好是共形映射。

設(shè)?(z)是把|z|