[科普中國]-重心坐標

定義

設在平面上給出 ．如果點X是這個三角形的頂點帶有質(zhì)量 和 的質(zhì)量中心，那么 稱做是點x關于 的重心坐標。1

直線上的重心坐標我們首先在一條直線上定義點的重心坐標．設 和 是直線z上的兩個不同點 和 的向徑．那么， 上的任意一點P的向徑 可表示成

而且這種表示法是唯一的．當點P在線段 上時，還需要下列條件

這時，我們稱 為點P的重心坐標．

重心坐標的幾何意義是明顯的： ．這里 和 表示相應線段的長．2

平面上的重心坐標設3點 和 構(gòu)成三角形， 和 分別表示它們的向徑．對三角形所在平面上的任意一點P，可把它的向徑 表示為

這種表示方法是唯一的．事實上，設 還可表示成

將它與上述向徑 式相減，得到

因為與，是線性無關的，所以

即

稱是點P關于基的重心坐標．

如果點P在的內(nèi)部或邊界上，則除了外，還成立

重心坐標有下列幾何意義．用[PQR]表示有向的面積(有正負)，則

為了證明這個結(jié)論，我們延長，使之與或其延長線相交于點Q，如圖1所示．根據(jù)直線上一點的重心

坐標的定義得知

而

所以

由于重心坐標的唯一性，因此

由對稱性，同樣可以得出和的幾何意義。2

與內(nèi)心坐標的關系若三角形ABC所在平面中一個點的重心坐標P(x,y,z)，定義其內(nèi)心坐標為，其中a、b、c為A、B、C對邊邊長。內(nèi)心坐標是用P到三角形ABC三邊距離之比來刻畫P點的位置。三點共線的充要條件是內(nèi)心坐標組成的三階行列式的值等于0。