[科普中國]-事件域

基礎(chǔ)知識

自然界中的有兩類現(xiàn)象，確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象。

確定性現(xiàn)象：在一定的條件下必然發(fā)生(或不發(fā)生)某種結(jié)果的現(xiàn)象。

例如：太陽從東方升起；水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加溫到100℃沸騰。

隨機(jī)現(xiàn)象：在基本條件不變的條件下，一系列試驗(yàn)(或觀察)常會得到不同的結(jié)果。

例如：擲一枚硬幣，正面朝上或反面朝上；一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù)。

隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性： 隨機(jī)現(xiàn)象的各種結(jié)果會表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

隨機(jī)事件的特征是具有現(xiàn)象的不確定性，但是我們可以通過重復(fù)觀測，從不確定現(xiàn)象中尋找、觀察特定事件發(fā)生的規(guī)律，為此需要讓某一隨機(jī)現(xiàn)象重復(fù)發(fā)生（不一定是人為控制的）并記錄觀測結(jié)果，稱之為隨機(jī)試驗(yàn)

隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)特征：①可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；②事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果；③進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪個(gè)試驗(yàn)結(jié)果會發(fā)生。

樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果。

樣本空間：雖然隨機(jī)事件的結(jié)果是不確定的，但結(jié)果的范圍必須是已知的，可以描述的。把隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能出現(xiàn)的（不能再分割的）結(jié)果稱為隨即試驗(yàn)的樣本點(diǎn)或者基本事件，所有可能結(jié)果的集合，也就是樣本點(diǎn)的總和稱為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。樣本空間分為三類：離散樣本空間、連續(xù)樣本空間、混合型1。

定義事件域的元素應(yīng)該包括樣本空間和空集；其次應(yīng)該保證事件經(jīng)過并、交、差、對立各種運(yùn)算后仍然是事件，即其對集合的運(yùn)算有封閉性。（交的運(yùn)算可以通過并與對立來實(shí)現(xiàn)；差的運(yùn)算可通過對立與交來實(shí)現(xiàn)）。

設(shè)Ω為樣本空間，F(xiàn) 是由Ω的子集組成的集合類，若F滿足以下三點(diǎn)：

1. ；2.若 ，則 ；3.若 ，n=1,2...，則 。

則稱 F 為波雷爾**（****Borel**事件域），或 事件域或 代數(shù)。波雷爾事件域中每一個(gè)樣本空間的子集稱為一個(gè)事件。（ Ω，F(xiàn) ）為可測空間2。

基本類型1.樣本空間包含可列（可數(shù)）的元素，從而事件域包含可列個(gè)事件，生成的概率是離散型概率；

2.樣本空間包含不可數(shù)的元素，從而事件域包含不可數(shù)的事件，生成的概率是連續(xù)型概率3。

相關(guān)內(nèi)容樣本空間Ω與事件域F是抽象的、理論上是存在的；

事件域 F是集類，隨機(jī)事件是集合且是 F中的元素；

事件必是樣本空間的子集，但樣本空間的子集并非是事件；

必然事件與不可能事件也稱為隨機(jī)事件；

事件發(fā)生是指當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)了該事件所含的某一基本事件2。

例子分析例1.擲一枚硬幣。

分析：出現(xiàn)“正面”、“反面”都是基本事件。這兩個(gè)基本事件構(gòu)成一個(gè)樣本空間。在例1中共有兩個(gè)樣本點(diǎn)：“正面”，“反面”。作F={正面或反面，正面，反面，空集}，它構(gòu)成一個(gè)波雷爾事件域，其中每一個(gè)元素都是一個(gè)事件。需要說明，F(xiàn)表達(dá)式中的花括號。是指事件的集合。

例2.擲一顆骰子。

分析：出現(xiàn)“1點(diǎn)”、“2點(diǎn)”、“3點(diǎn)”、“4點(diǎn)”、“5點(diǎn)”、“6點(diǎn)”都是基本事件。這六個(gè)基本事件構(gòu)成一個(gè)樣本空間。在例2中共有六個(gè)樣本點(diǎn)，記 為出現(xiàn)“i點(diǎn)”的樣本點(diǎn)，i=1,2,3,4,5,6。作F={ ... ，( )， ... ， ， ... ， ... ， ... ， 它構(gòu)成一個(gè)波雷爾事件域。這里每一對小括號表示它所包含的樣本點(diǎn)的集合。3