[科普中國]-正交系

定義

設(shè) 是內(nèi)積空間H的一些非零元素構(gòu)成的子集，若M中任何兩個不同元素都正交，則稱M為H中的一個正交系，進一步，若在正交系M中每個元素的范數(shù)均為1，則稱M為H的一個標準正交系。1

例1 在 中，

是一個標準正交系。

例2 在空間 中，命

由于

因此 是一個標準正交基。

相關(guān)定理已知在線性代數(shù)中，對于一組線性無關(guān)向量可用格雷姆一休密特(Gram—Schmidt)正交化程序構(gòu)造出標準正交向量組，在內(nèi)積空間中則有下述的定理。1

定理1(格雷姆一休密特正交化程序)設(shè)H是內(nèi)積空間， 是H中的線性無關(guān)子集，則存在標準正交系 ，使得對每一個自然數(shù)n，有：。1

定理2內(nèi)積空間H中的有限維子空間M是閉子空間。

定理3設(shè) 是希爾伯特空間H中的一個標準正交系，令，如果P是H到M上的正交投影算子，則對于任意的，有

定理4設(shè) 是希爾伯特空間H的標準正交系， 是實(或復(fù))數(shù)點列，那么級數(shù) 在H中收斂，當且僅當 。進而還有

定理5[貝塞爾(Bessel)不等式]設(shè) 是希爾伯特空間H中的標準正交系，則對于任意的x∈H和n∈N，有

和

進一步

而且 在H中收斂。

定理6設(shè) 是內(nèi)積空間H中的一個標準正交系，則 是完備的，當僅當張成的子空間L在H中稠密。

定理7設(shè)H是希爾伯特空間， 是H中的標準正交系，則 是完備的，當且僅當 是完全的。

在一般的希爾伯特空間中，標準正交甚有下述等價刻畫。

定理8設(shè) 為希爾們特空間H中的標準正交系，則下述一些條件等價：

(1)S是H的完全標準正交系；

(2) (此條件滿足時稱S為完備的)；

(3)

(4)對于任意的，

(5)對于任意的 ，巴塞伐爾等式成立，即

(6)對于任意

定理9設(shè)H是希爾伯特空問，則下述兩條等價：

(1)H是可分的；

(2)H有一個至多可數(shù)的完全標準正交系。1