[科普中國(guó)]-有限域

概念

在抽象代數(shù)中，域是一種可進(jìn)行加、減、乘和除運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。域的概念是數(shù)域以及四則運(yùn)算的推廣。域是環(huán)的一種。域和一般環(huán)的區(qū)別在于域要求它的元素可以進(jìn)行除法運(yùn)算，這等價(jià)于每個(gè)非零的元素都要有乘法逆元。同時(shí)，在現(xiàn)代定義中，域中元素關(guān)于乘法是可交換的。簡(jiǎn)單來說，域是乘法可交換的除環(huán)。乘法非交換的除環(huán)則稱為體，或者反稱域。在過去的定義中，除環(huán)被稱為“域”，而現(xiàn)代意義上的域被稱為“交換域”，包含有限個(gè)元素的域被稱為有限域。1

實(shí)際上，域是一個(gè)可以在其上進(jìn)行加法、減法、乘法和除法運(yùn)算而結(jié)果不會(huì)超出域的集合。如有理數(shù)集合、實(shí)數(shù)集合、復(fù)數(shù)集合都是域，但整數(shù)集合不是（很明顯，使用除法得到的分?jǐn)?shù)或小數(shù)已超出整數(shù)集合）。

如果域F只包含有限個(gè)元素，則稱其為有限域。有限域中元素的個(gè)數(shù)稱為有限域的階。盡管存在有無限個(gè)元素的無限域，但只有有限域在密碼編碼學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。每個(gè)有限域的階必為素?cái)?shù)的冪，即有限域的階可表示為p?（p是素?cái)?shù)、n是正整數(shù)），該有限域通常稱為Galois域(Galois Fields)，記為GF(p?)。

當(dāng)n=1時(shí)，存在有限域GF（p），也稱為素?cái)?shù)域。在密碼學(xué)中，最常用的域是階為p的素?cái)?shù)域GF（p）或階為 的GF( )域。

有限域中的計(jì)算一切有限域都有加法和乘法兩種運(yùn)算，并必須滿足以下條件：2

1．封閉性：若任意兩元素a·b∈GF(q)，則有

a+b∈GF(q) a·b∈GF(q)

2．結(jié)合律：若任意a、b、c∈GF(q)，則有

(a+b)+c=a+(b+c)，(a·b)c=a(b·c)

3．交換律：若任意a、b∈GF(q)，則有

a+b=b+a，a·b=b·a

4．有乘法恒等元e和加法恒等元0，使任意元素a∈GF(q)都有：

a+0=a， a·e=a

5．任意元素a∈GF(q)都有乘法逆元素 和加法負(fù)元素(-a)，使

a+(-a)=0

但 叫無定義。

6．乘對(duì)加分配律:任意a、b、c∈GF(q)有

a(b+c)=a·b+a·c

有限域的結(jié)構(gòu)1．有限域的乘法結(jié)構(gòu)3

域的全體非0元素集合構(gòu)成交換乘群；全體元素集合構(gòu)成交換加群。有限域的元素個(gè)數(shù)是有限的。因此，全體非0元素集合構(gòu)成有限乘群，乘群中每個(gè)元素的級(jí)為有限。并可以證明，該群必由群中的一個(gè)元素生成，且是循環(huán)群。

2．有限域的加法結(jié)構(gòu)3

在域中必有乘法單位元1，若作1+1+1+…運(yùn)算，對(duì)無限域來說，則有可能n·1≠o，但在有限域中，1+1+…+1=0，否則該域必成為無限域。例如，在GF(2)中，1+1=0。

相關(guān)定理定理1 一個(gè)有限域E有p?個(gè)元素，這里p是E的特征，而n是E在它的素域△上的次數(shù)。1

定理2 令有限域E的特征是素?cái)?shù)p，E所含的素域是△，而E有q=p?個(gè)元素，那么E就是多項(xiàng)式 在△上的分裂域。任何兩個(gè)這樣的域都同構(gòu)。

定理3 令△是特征為p的素域，而q=p?(n≥1)，那么多項(xiàng)式 在△上的分裂域E就是一個(gè)有q個(gè)元的有限域。

定理4 一個(gè)有限域E是它的素域△的一個(gè)單擴(kuò)域。1