[科普中國]-超越函數

定義

如三角函數、對數函數，反三角函數，指數函數，等就屬于超越函數1。如y=arcsinx，y=cosx，它們屬于初等函數中的初等超越函數。

超越函數是指那些不滿足任何以多項式作系數的多項式方程的函數**2。**說的更技術一些，單變量函數若為代數獨立于其變量的話，即稱此函數為超越函數。例如，對數函數和指數函數即為超越函數。 超越函數這個名詞通常被拿來描述三角函數，例如正弦、余弦、正割、余割、正切、余切、正矢、半正矢等。

函數的不定積分運算是超越函數的豐富來源，如對數函數便來自代數函數的不定積分。在微分代數里，人們研究不定積分如何產生與某類“標準”函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。

在數學領域中，超越函數與代數函數相反，是指那些不滿足任何以多項式作系數的方程的函數，即函數不滿足以變量自身的多項式為系數的多項式方程。換句話說，超越函數就是"超出"代數函數范圍的函數，也就是說函數不能表示為有限次的加、減、乘、除、乘方和開方的運算。

嚴格的說，關于變量 z 的解析函數 f(z) 是超越函數，那么該函數是關于變量z是代數獨立的。

非超越函數則稱為代數函數，代數函數的例子有多項式和平方根函數3。

對代數函數進行不定積分運算能夠產生超越函數，如對數函數便是在對雙曲角圍成的面積研究中， 對倒數函數y = k/x不定積分得到的， 以此方式得到的雙曲函數sinhx、 coshx、tanhx都是超越函數。

微分代數的某些研究人員研究不定積分如何產生與某類“標準”函數代數獨立的函數，例如將三角函數與多項式的合成取不定積分。

量綱分析在量綱分析里，超越函數是非常有用的，因為它們只在其參數無量綱時才有意義。因此，超越函數可以是量綱錯誤的顯著來源。

例如，lg(10 m)是個毫無意義的表示式， lg(10 m)不同于 lg(5 m / 3 m) 和 log(3) m，后兩者是有實際意義的。

利用對數恒等式， 將 lg(10m)展開為lg(10) + lg(m)能夠更清晰的說明該問題：一個有量綱的非代數運算會產生無意義的結果。