[科普中國]-矩陣群

基本例子在一個交換環(huán)R上n×n矩陣集合MR(n,n) 在矩陣加法與乘法下自身是一個環(huán)。MR(n,n) 的單位群稱為在環(huán)R上n×n矩陣的一般線性群，記作GLn(R) 或GL(n,R)。所有矩陣群是某個一般線性群的子群。

典型群某些特別有趣的矩陣群是所謂的典型群。當(dāng)矩陣群的系數(shù)環(huán)是實數(shù)，這些群是典型李群。當(dāng)?shù)篆h(huán)是一個有限域，典型群是李型群。這些群在有限單群分類中起著重要的作用。

有限群任何有限群同構(gòu)于某個矩陣群。這類似于凱萊定理說每個有限群同構(gòu)于某個置換群。因為同構(gòu)性質(zhì)是傳遞的，我們只需考慮怎樣從一個置換群構(gòu)造一個矩陣群。

令G是在n點 (Ω = {1,2,…,n}) 上的置換群，設(shè) {g1,...,gk} 是G的一個生成集合。復(fù)數(shù)上n×n矩陣的一般線性群GLn(C) 自然作用在向量空間C上。設(shè)B={b1,…,bn} 是C的標(biāo)準(zhǔn)基。對每個gi令Mi屬于GLn(C) 是將每個bj送到bgi(j)的一個矩陣。這就是如果置換gi將點j送到k則Mi將基向量bj送到bk。 令M是GLn(C) 中由 {M1,…,Mk} 生成的子群。G在 Ω 上的作用恰好與M在B上的作用相同?？梢宰C明將每個gi送到Mi的函數(shù)擴張成一個同構(gòu)，這樣每個置換群同構(gòu)于一個子群。

注意到域（上面用的是C）是無關(guān)的，因為M包含的元素矩陣分量只是 0 或 1。容易對任意域可做同樣的構(gòu)造，因為元素 0 和 1 在每個域中。

舉一例，令G=S3，3 個點的對稱群。設(shè)g1= (1,2,3) 和g2= (1,2)，則

注意到M1b1=b2，M1b2=b3以及M1b3=b1。類似地，M2b1=b2，M2b2=b1以及M2b3=b3。

表示論線性變換與矩陣（一般地說）在數(shù)學(xué)中已被充分理解，在群的研究中被廣泛使用。特別是表示論研究從一個群到一個矩陣群的同態(tài)與特征標(biāo)理論研究從一個群到由一個表示的跡給出的一個域的同態(tài)。

例子李群列表（en:table of Lie groups），有限單群列表（list of finite simple groups），以及單李群列表（list of simple Lie groups）中有許多例子。

參見傳遞有限群列表（list of transitive finite linear groups）