[科普中國(guó)]-微分形式

定義

微分流形M上外形式叢的一個(gè)光滑截面.設(shè)ω：M→Λ(TM)，若對(duì)于外形式叢的叢射影π，滿足π°ω=id，則稱ω為M上的微分形式.

r次外形式叢的光滑截面稱為r次微分形式，簡(jiǎn)稱r形式.微分r形式全體構(gòu)成的空間記為E(M)，E(M)是C(M)模.因此，M上微分r形式是光滑的反對(duì)稱r階協(xié)變張量場(chǎng).微分形式全體構(gòu)成的空間為

設(shè)β∈E(M)，(U，y1，…，yn)為M上某點(diǎn)處的區(qū)圖，則微分k形式β局部地可表示為

其中bi1…ik是U上的C函數(shù).

E(M)關(guān)于外積有一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，設(shè)ω，φ∈E(M)，c為常數(shù)，可以定義ω+φ，cω，ω∧φ，f∧ω(f是0形式)，從而使E(M)在外積之下構(gòu)成一個(gè)分次代數(shù).2

微分形式是微分幾何學(xué)中最基本的概念。 我們首先以n維歐氏空間R?為例， 來(lái)解釋微分形式。 設(shè) 是歐氏空間坐標(biāo)。 在這個(gè)空間中， 我們有自然的度量， 即歐幾里得度量, 它的微分表達(dá)式為

。 這里 是傳統(tǒng)的一階微分。而 指的是 和它自己的在域R上的張量積。類似地，ds是無(wú)窮小向量dr的模長(zhǎng)，而 是ds和自己在域R上的張量積。

把 作為基向量，其中，p為 中的一個(gè)點(diǎn)，以實(shí)常數(shù)為系數(shù)，可以生成域R上的一個(gè)n維的向量空間， 稱為 在點(diǎn)p的余切空間，在線性同構(gòu)的意義下，它就是 自己而已；而如果把系數(shù)由常數(shù)換成點(diǎn)p所在的開鄰域上的實(shí)值函數(shù)，則上述的n個(gè)基向量可以生成函數(shù)環(huán)上的一個(gè)n秩的模，叫做一階外微分形式模。在代數(shù)幾何中，這個(gè)模是很常用的。

另一方面， 對(duì)一個(gè)n維向量空間V, 假設(shè) 是基向量. 我們可以定義r次外積空間, 這個(gè)空間由以下形式的外積（有時(shí)也稱楔積）作為基元素生成： , 這里 。

今取 , 則 中的元素稱為r次微分形式， 它可以寫成基元素 的線性組合。 這里每個(gè)基元素前的系數(shù)可以視作坐標(biāo) 的函數(shù)。

微分形式的概念也可以從歐氏空間推廣到微分流形上。所有微分形式放在一起構(gòu)成一個(gè)外代數(shù)。

性質(zhì)微分形式的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是能做外微分 運(yùn)算。 比如 是一個(gè)r次微分形式， 那么 。這就把一個(gè)r次微分形式映到了r+1次微分形式。換言之，我們有映射d: → . 這個(gè)映射稱為外微分。

易知兩次外微分的復(fù)合等于零， 即dd=0，即poincare（龐加萊）引理. 一個(gè)微分形式ω如果滿足dω=0, 我們就稱其為閉形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ， 我們就稱其為恰當(dāng)形式。 利用dd=0這一條件，我們就得到所謂的DeRham復(fù)形， 由這個(gè)復(fù)形，就導(dǎo)出了所謂的DeRham上同調(diào)， 它就是閉形式生成的向量空間商掉恰當(dāng)形式以后得到的商空間。

此外， 外微分運(yùn)算還滿足牛頓-萊布尼茲公式， 即對(duì)區(qū)域邊界某外微分的積分等于對(duì)區(qū)域內(nèi)該外微分的微分的積分。是高斯公式，斯托克斯公式的概括和總結(jié)，是單變量微積分中牛頓-萊布尼茲公式在多變量中的推廣。

斯托克斯定理利用外微分和積分運(yùn)算， 我們可以得到著名的斯托克斯定理。 它是說(shuō)一個(gè)恰當(dāng)形式ω=dγ在定義域M上的積分，就等于γ在M的邊界上的積分。這個(gè)定理有很多特殊情況， 都是經(jīng)典微積分理論中的重要公式， 比如牛頓萊布尼茲公式， 高斯公式， 格林公式 等等。

斯托克斯定理表明， 外微分算子d和拓?fù)鋱D形的邊緣算子是相伴的。 這暗示了微分分析和拓?fù)鋵W(xué)之間的微妙聯(lián)系。

例子取平面上的一階微分ω=Pdx+Qdy. 那么, 這里是Q關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)，其余類似。

此時(shí)的斯托克斯公式就是格林公式， 即線積分可以轉(zhuǎn)化為面積分。