[科普中國]-巴拿赫空間

定義

巴拿赫空間有兩種常見的類型：“實巴拿赫空間”及“復(fù)巴拿赫空間”，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義于由實數(shù)或復(fù)數(shù)組成的域之上。

許多在數(shù)學(xué)分析中學(xué)到的無限維函數(shù)空間都是巴拿赫空間，包括由連續(xù)函數(shù)（緊致赫斯多夫空間上的連續(xù)函數(shù)）組成的空間、由勒貝格可積函數(shù)組成的Lp空間及由全純函數(shù)組成的哈代空間。上述空間是拓撲向量空間中最常見的類型，這些空間的拓撲都自來其范數(shù)。2

巴拿赫空間是以波蘭數(shù)學(xué)家斯特凡·巴拿赫的名字來命名，他和漢斯·哈恩及愛德華·赫麗于1920-1922年提出此空間。

例子以下令K為體R或C之一。3

常見的歐氏空間K（其范數(shù)為歐幾里德范數(shù)，x= (x1, …,xn)的范數(shù)定義為||x||= (x1+…+xn)）是巴拿赫空間。因此，因為在每一個有限維K向量空間上的所有范數(shù)均等價，所以每一個具有任意范數(shù)的有限維K向量空間都是巴拿赫空間。

考慮一個由定義于閉區(qū)間[a,b] 上的所有連續(xù)函數(shù)?: [a,b]→K所組成的空間。這個空間會成為一個巴拿赫空間（標(biāo)記為C[a,b]），若存在一個定義在此空間中的洽當(dāng)范數(shù)||?||。此類范數(shù)可以定義為||?|| = sup { |?(x)|:x∈ [a,b] }，稱之為最小上界范數(shù)。上述范數(shù)是良好定義的，因為定義于閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都是有界的。

若f為一個定義于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則此函數(shù)為有界的，并其定義如上的最小上界可由極值定理取得，因此可以用最大值來取代最小上界。在此例之中，其范數(shù)也稱為“最大值范數(shù)”。

上述空間也可推廣至由所有連續(xù)函數(shù)X→K（其中X為一緊致空間）或所有“有界”連續(xù)函數(shù)X→K（其中X為任意拓撲空間）所組成的空間，標(biāo)記為C(X)；或由所有有界函數(shù)X→K（其中X為任意集合）所組成的空間，標(biāo)記為B(X)。在上述所有的例子之中，甚至可以將函數(shù)相乘，而乘積還會在原空間內(nèi)；亦即，上述所有例子實際上都會是有單位的巴拿赫代數(shù)。

對每一個開集Ω?C，由所有有界解析函數(shù)u:Ω→C所組成的集合A(Ω) 會是一個在最小上界范數(shù)下的復(fù)巴拿赫空間。這可以用解析函數(shù)的一致極限也會是解析的這個事實來證明。

設(shè)p≥ 0 為一實數(shù)，考慮由K內(nèi)元素排成的所有其無窮級數(shù)∑i|xi|為有限的無限序列(x1,x2,x3, …)所組成的空間。這個級數(shù)的p次方根即定義為此序列的p-范數(shù)。上述空間和范數(shù)即會形成一個巴拿赫空間，標(biāo)記為?。

巴拿赫空間?是由所有在K內(nèi)元素排成的所有有界序列所組成的空間；此類序列的范數(shù)定義為序列中每個數(shù)字的絕對值的最小上界。

再者，設(shè)p≥ 1 為一實數(shù)，可考慮由所有其|?|為勒貝格可積的函數(shù)?: [a,b]→K所組成的空間。此函數(shù)積分的p次方根即定義為其范數(shù)。但上述空間和范數(shù)不能形成一個巴拿赫空間，因為存在一個范數(shù)為零的非零函數(shù)。但可定義一個等價關(guān)系：f及g為等價當(dāng)且僅當(dāng)??g的范數(shù)為零。如此，其等價類即可形成一個巴拿赫空間，標(biāo)記為L([a,b])。在這里使用勒貝格積分，而不是黎曼積分是有原因的，因為黎曼積分無法形成一個完備空間。這個空間可以再被推廣，詳細可見L空間。

線性變換空間假設(shè)V和W是同一個數(shù)域K上的巴拿赫空間，所有線性變換A:V→W的集合記為 L(V,W)。注意：在無限維空間中，線性變換未必是連續(xù)的。L(V,W) 本身是一個向量空間。

定義 ||A|| = sup { ||Ax||: ||x|| ≤ 1 }，可以驗證這是 L(V,W) 上的一個范數(shù)，使得 L(V,W) 成為一個巴拿赫空間。如果還將映射的復(fù)合運算定義為線性變換的乘法，則 L(V) = L(V,V) 構(gòu)成一個有單位元的巴拿赫代數(shù)。