[科普中國(guó)]-超越數(shù)

概念

超越數(shù)是指不滿足任何整系數(shù)(有理系數(shù))多項(xiàng)式方程的實(shí)數(shù)，即不是代數(shù)數(shù)的數(shù)。因?yàn)闅W拉說過：“它們超越代數(shù)方法所及的范圍之外?！?1748年)而得名。

幾乎所有的實(shí)數(shù)都是超越數(shù)。

1844年，劉維爾(J.liouville，法，1809—1882)首先證明了超越數(shù)的存在性。厄米特與林德曼先后證明了e與π為超越數(shù)。

難題超越數(shù)是不能滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實(shí)數(shù)，定義恰與代數(shù)數(shù)相反。兩個(gè)著名的例子：圓周率π=3.1415926535…|自然對(duì)數(shù)的底e=2.718281828…可以證明超越數(shù)有無(wú)窮個(gè)。在實(shí)數(shù)中除了代數(shù)數(shù)外，其余的都是超越數(shù)，但是超越數(shù)不一定是實(shí)數(shù)，比如著名的歐拉公式中的即是一個(gè)虛超越數(shù)。實(shí)數(shù)可以作如下分類：實(shí)數(shù)分為實(shí)代數(shù)數(shù)、實(shí)超越數(shù)。所有超越數(shù)構(gòu)成的集是一個(gè)不可數(shù)集。這暗示超越數(shù)為無(wú)窮數(shù)集?？墒牵F(xiàn)今發(fā)現(xiàn)的超越數(shù)極少，因?yàn)橐C明一個(gè)數(shù)是超越數(shù)是十分困難的。

證明劉維爾數(shù)證明后，許多數(shù)學(xué)家都致力于對(duì)超越數(shù)的研究。1873年，法國(guó)數(shù)學(xué)家埃爾米特（Charles Hermite，1822—1901）又證明了自然對(duì)數(shù)底e的超越性，從而使人們對(duì)超越數(shù)的認(rèn)識(shí)更為清楚。1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明了圓周率也是一個(gè)超越數(shù)（完全否定了“化圓為方”作圖的可能性）。

在研究超越數(shù)的過程中，大衛(wèi)·希爾伯特曾提出猜想：a是不等于0和1的代數(shù)數(shù),b是無(wú)理代數(shù)數(shù)，則a^b是超越數(shù)（希爾伯特問題中的第七題）。

這個(gè)猜想已被證明，于是可以斷定e、π是超越數(shù)。

常見形式實(shí)數(shù)中除代數(shù)數(shù)以外的數(shù)，亦即不滿足任一個(gè)整系數(shù)代數(shù)方程 （n為正整數(shù)， ≠0）的數(shù)。理論上證明超越數(shù)的存在并不難，而且可知超越數(shù)是大量的。但要構(gòu)造一個(gè)超越數(shù)或論證某個(gè)數(shù)是超越數(shù)就極為困難。現(xiàn)今只有少量的數(shù)如π，e，等的超越性得到了證明，對(duì)其他一些有興趣的數(shù)的超越性的研究是數(shù)學(xué)家十分關(guān)注的事。2

數(shù)例ππ，在我國(guó)叫又環(huán)率、圓率、圓周率等。

最先得出π≈3.14的是希臘的阿基米德（約公元前240年），最先給出π小數(shù)后面四位準(zhǔn)確值的是希臘人托勒密（約公元前150年），最早算出π小數(shù)后七位準(zhǔn)確值的是我國(guó)的祖沖之（約480年），1610年荷蘭籍德數(shù)學(xué)家魯?shù)婪驊?yīng)用內(nèi)接和外切正多邊形計(jì)算π值，通過262邊形計(jì)算π到35位小數(shù)，花費(fèi)了畢生精力，1630年格林貝格利用斯涅耳的改進(jìn)方法計(jì)算π值到39位小數(shù)，這是利用古典方法計(jì)算π值的最重要嘗試。

以上都是古典方法計(jì)算π值。

達(dá)什首先計(jì)算出π的準(zhǔn)確的200位數(shù)字。

值得提出的是，達(dá)什1824年生于漢堡，只活了短短的37年，便離開了人世，他是一個(gè)閃電般的計(jì)算者，是一位最了不起的人工計(jì)算者，他曾在54秒鐘內(nèi)便完成了兩個(gè)8位數(shù)的乘法，在6分鐘內(nèi)完成了兩個(gè)20位數(shù)的乘法，在40分鐘內(nèi)完成了兩個(gè)40位數(shù)的乘法；他曾在52分鐘內(nèi)算出一個(gè)100位數(shù)的平方根。達(dá)什的這種非凡的計(jì)算才能在他制作7位對(duì)數(shù)表和從7000000到10000000之間的數(shù)的因子表便得到了最有價(jià)值的充分的運(yùn)用。

1706年，英國(guó)的威廉·姆士首先使用π這個(gè)符號(hào)，用來(lái)表示圓周和直徑的比值，但只是在歐拉于1737年采用了這方法以后，π才在這種情況下得到了普遍的應(yīng)用。

1873年，英國(guó)人威廉·?？怂估名溞碌墓接?jì)算π到70位。

1961年，美國(guó)的雷思奇和D·桑克斯用電子計(jì)算機(jī)得出π值的100000位數(shù)字。

e在中學(xué)數(shù)學(xué)書中這樣提出：以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)。那么e到底有什么實(shí)際意義呢？

1844年，法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾最先推測(cè)e是超越數(shù)，一直到了1873年才由法國(guó)數(shù)學(xué)家埃爾米特證明e是超越數(shù)。

1727年，歐拉最先用e作為數(shù)學(xué)符號(hào)使用，后來(lái)經(jīng)過一個(gè)時(shí)期人們又確定用e作為自然對(duì)數(shù)的底來(lái)紀(jì)念他。有趣的是，e正好是歐拉名字第一個(gè)小寫字母，是有意的還是偶然巧合？現(xiàn)已無(wú)法考證！

e在自然科學(xué)中的應(yīng)用并不亞于π值。像原子物理和地質(zhì)學(xué)中考察放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律或考察地球年齡時(shí)便要用到e。

在用齊奧爾科夫斯基公式計(jì)算火箭速度時(shí)也會(huì)用到e，在計(jì)算儲(chǔ)蓄最優(yōu)利息及生物繁殖問題時(shí)，也要用到e。

同π一樣，e也會(huì)在意想不到的地方出現(xiàn)，例如：“將一個(gè)數(shù)分成若干等份，要使各等份乘積最大，怎么分？”要解決這個(gè)問題便要同e打交道。答案是：使等分的各份盡可能接近e值。如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份為10÷4=2.5，這時(shí)2.5^4=39.0625乘積最大，如分成3或5份，乘積都小于39。e就是這樣神奇的出現(xiàn)了。

1792年，15歲的高斯發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)定理：“從1到任何自然數(shù)N之間所含素?cái)?shù)的百分比，近似等于N的自然對(duì)數(shù)的倒數(shù)；N越大，這個(gè)規(guī)律越準(zhǔn)確?！边@個(gè)定理到1896年才由法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪和幾乎是同一時(shí)期的比利時(shí)數(shù)學(xué)家布散所證明。以e為底還有很多優(yōu)越性。如以e為底編制對(duì)數(shù)表最好；微積分公式也具有最簡(jiǎn)的形式。這是因?yàn)橹挥衑^x導(dǎo)數(shù)就是其自身，即d/dx(e^x)=e^x。

意義超越數(shù)的證明，給數(shù)學(xué)帶來(lái)了極大的變革，它證明了幾千年來(lái)數(shù)學(xué)上的難題——尺規(guī)作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題都是尺規(guī)不能問題（無(wú)法用尺規(guī)證明的問題）。3

各種形式π和e的無(wú)窮級(jí)數(shù)形式

有趣的是，π和e可以用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示：

π=4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)=4*∑((-1)^n/(1+2n)),n∈N

e=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+……. =∑1/(n!),n∈N

π的反正切函數(shù)形式

除了無(wú)窮級(jí)數(shù)形式，π還可以用反正切函數(shù)表示：

π=16arctan1/5-4arctan1/239

π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239