[科普中國]-正多邊形

定義

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。

正多邊形的外接圓的半徑叫做半徑。

中心到圓內(nèi)切正多邊形各邊的距離叫做邊心距。

正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，這個圓心角叫做正多邊形的中心角****。

相關(guān)概念外接圓把圓分為n(n≥3)等份，依次連接各分點所得的多邊形就是這個圓的內(nèi)接正n邊

形，也就是正n邊形的外接圓。

內(nèi)切圓把圓分為m(m≥3)等份，經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形就是這個圓的外切正m邊形，也就是正m邊形的內(nèi)切圓。

內(nèi)角正n邊形的內(nèi)角和度數(shù)為：（n－2)×180°**;**

正n邊形的一個內(nèi)角是**(n-2)×180°÷n.**

外角正n邊形外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°

所以正n邊形的一個外角為：360°÷n.

所以正n邊形的一個內(nèi)角也可以用這個公式：180°-360°÷n.

中心角任何一個正多邊形，都可作一個外接圓，多邊形的中心就是所作外接圓的圓心，所以每條邊的中心角，實際上就是這條邊所對的弧的圓心角，因此這個角就是360度÷邊數(shù)。

正多邊形中心角：360°÷n

因此可證明，正n邊形中，外角=中心角=360°÷n對角線

在一個正多邊形中，所有的頂點可以與除了他相鄰的兩個頂點的其他頂點連線，就成了頂點數(shù)減2（2是那兩個相鄰的點）個三角形。三角形內(nèi)角和：180度，所以把邊數(shù)減2乘上180度，就是這個正多邊形的內(nèi)角和**。**

對角線數(shù)量的計算公式：n(n-3)÷2。

面積設(shè)正n邊形的半徑為R，邊長為an，中心角為αn，邊心距為rn，則αn=360°÷n，an=2Rsin(180°÷n)，rn=Rcos(180°÷n)，R^2=r n^2+(an÷2)^2，周長pn=n×an，面積Sn=pn×rn÷2。

對稱軸正多邊形的對稱軸——

奇數(shù)邊：連接一個頂點和頂點所對的邊的中點的線段所在的直線，即為對稱軸；

偶數(shù)邊：連接相對的兩個邊的中點，或者連接相對稱的兩個頂點的線段所在的直線，都是對稱軸。

正N邊形邊數(shù)、角數(shù)、對稱軸數(shù)都為N。

鑲嵌規(guī)律在正多邊形中，只有三種能用來鋪滿一個平面而中間沒有空隙，就是正三角形、正方形、正六邊形。因為正三角形的每一個角等于60度，六個正三角形拼在一起時，在公共頂點上的六個角之和等于360度；正方形的每個角等于90度，所以四個正方形拼在一起時，在公共頂點上四個角的和也剛好等于360度；正六邊形的每個角等于120度，三個正六邊形拼在一起時，在公共頂點上的三個角之和也等于360度。

如果用別的正多邊形，就不能達到這個要求。例如：正五邊形的每只角等于108度，把三個正五邊形拼在一起，在公共頂點上三個角之和是108度*3=324度，小于360度有空隙。而空隙處又放不下第四個正五邊形，因為108度*4=432度，大于360度。

尺規(guī)作圖直尺、圓規(guī)和量角器可以畫出任意正多邊形。 但是在古希臘時，作圖只使用沒有刻度的直尺（unmarked ruler）和圓規(guī)（compass）。 用尺規(guī)作正偶邊形如2n,3×2n,5×2n等正多邊形并非難事。 但對正奇邊形如3,5,7,9,11,13,15等的作圖，在當(dāng)時是件困難的事，而且并非全都可以作圖成功。 1798年，德國數(shù)學(xué)家高斯只有19歲，他成功的以圓規(guī)直尺做出一個正十七邊形，**[1801年數(shù)學(xué)家高斯證明：如果費馬數(shù)k為質(zhì)數(shù)，那么就可以用直尺和圓規(guī)將圓周k等分.但是，高斯本人實際上并不會做正十七邊形。第一個真正的正十七邊形尺規(guī)作圖法直到1825年才由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger****）****]**給出.并證明了正多邊形的邊數(shù)只有是費馬質(zhì)數(shù)或不同的費馬質(zhì)數(shù)乘積才可以尺規(guī)作圖出來，當(dāng)高斯去世后，人們?yōu)榱思o(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家，在他的故鄉(xiāng)(Brunschweig)的紀(jì)念碑上刻了一個正17邊形。